高考数学专题概率及期望与方差.docx

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高考数学专题概率及期望与方差

高考数学专题--概率及期望与方差

建知识网络　明内在联系

[高考点拨]　本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在浙江新高考中的考查方式十分灵活，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“古典概型”“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，强化突破．

突破点1、古典概型

[核心知识提炼]

提炼1古典概型问题的求解技巧

（1）直接列举：

涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．

（2）画树状图：

涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．

（3）逆向思维：

对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．

（4）活用对称：

对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.

提炼2求概率的两种常用方法

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．

（2）若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．

[高考真题回访]

回访　古典概型

1．（浙江高考）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（　　）

A.　　　　　B.

C.D.

D　[“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求的概率P＝1－＝1－＝.]

2．（浙江高考）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

　[记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有（1,2），（1,0），（2,1），（2,0），（0,1），（0,2），共6种．

其中甲、乙都中奖有（1,2），（2,1），2种，所以P（A）＝＝.]

3．（浙江高考）从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的概率等于__________．

　[用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：

AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为＝.]

热点题型1　古典概型

题型分析：

古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小.

【例1】　

（1）袋子里有大小、形状相同的红球m个，黑球n个（m＞n＞2）．从中任取1个球是红球的概率记为p1.若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p2；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p3，则（　　）

A．p1＞p2＞p3　　　　　B．p1＞p3＞p2

C．p3＞p2＞p1D．p3＞p1＞p2

（2）已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f（x）＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是（　　）

A.B.

C.D.

（1）B　

（2）A　[

（1）由题意得p1＝，p2＝，p3＝，则＝＝1＋，＝＝1＋，＝＝1＋，则－＝－＝＜0，－＝－＝＞0，所以＞＞，所以p3＞p1＞p2，故选D.

（2）记事件A为“函数f（x）＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．

因为f（x）＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′（x）＝3ax2＋2bx＋1.

因为函数f（x）在R上为增函数，所以f′（x）≥0在R上恒成立．

又a>0，所以Δ＝（2b）2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥.

所以当b＝1时，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4个数；

当b＝2时，有a≥，故a可取2,3,4，共3个数；

当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；

当b＝4时，有a≥，故a无可取值．

综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9（种）．

又a，b∈{1,2,3,4}，所以（a，b）共有4×4＝16（种）．

故所求事件A的概率为P（A）＝.故选A.]

[方法指津]

利用古典概型求事件概率的关键及注意点

1．关键：

正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．

2．注意点：

（1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．

（2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．

[变式训练1]　若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．

　[将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有3×3＝9种不同放法，其中在1,2号盒子中各有一个球的结果有2种，故所求概率是.]

热点题型2　互斥事件与对立事件的概率

题型分析：

互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.

【例2】　现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．

（1）求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；

（2）求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．

[解]　甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：

文学社

街舞社

1

甲乙丙丁

2

甲乙丙

丁

3

甲乙丁

丙

4

甲丙丁

乙

5

乙丙丁

甲

6

甲乙

丙丁

7

甲丙

乙丁

8

乙丙

甲丁

9

甲丁

乙丙

10

乙丁

甲丙

11

丙丁

甲乙

12

甲

乙丙丁

13

乙

甲丙丁

14

丙

甲乙丁

15

丁

甲乙丙

16

甲乙丙丁

共有16种情形，即有16个基本事件.

（1）文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，

故所求概率为＝.

（2）甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为＝.

[方法指津]

1．直接求法：

将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

2．间接求法：

先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（）求解，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．

提醒：

应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．

[变式训练2]　（名师押题）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

[解]　记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.

（1）由题意得P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，

又C＝A∪B，所以P（C）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5＋0.3＝0.8.

（2）因为D与C是对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.8＝0.2.

突破点2、随机变量及其分布

[核心知识提炼]

提炼1离散型随机变量的分布列

　离散型随机变量X的分布列如下：

X

x1

x2

x3

…

xi

…

xn

P

p1

p2

p3

…

pi

…

pn

则

（1）pi≥0.

（2）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1（i＝1,2,3，…，n）．

（3）E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望（简称期望）．

D（X）＝（x1－E（X））2·p1＋（x2－E（X））2·p2＋…＋（xi－E（X））2·pi＋…＋（xn－E（X））2·pn叫做随机变量X的方差．

（4）均值与方差的性质

①E（aX＋b）＝aE（X）＋b；

②D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为实数）．

（5）两点分布与二项分布的均值、方差

①若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）；

②若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.

提炼2几种常见概率的计算

（1）相互独立事件同时发生的概率

P（AB）＝P（A）P（B）．

（2）独立重复试验的概率

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn（k）＝Cpk·（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n.

[高考真题回访]

回访1　离散型随机变量及其分布列

1．（浙江高考）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：

取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.

[解]　

（1）由题意得ξ＝2,3,4,5,6.

故P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝，

P（ξ＝4）＝＝，

P（ξ＝5）＝＝，

P（ξ＝6）＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ

2

3

5

5

6

P

（2）由题意知η的分布列为

η

1

2

3

P

所以E（η）＝＋＋＝，

D（η）＝2·＋2·＋2·＝，

化简得

解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.

回访2　离散型随机变量的均值与方差

2．（浙江高考）已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0

A．E（ξ1）

B．E（ξ1）D（ξ2）

C．E（ξ1）>E（ξ2），D（ξ1）

D．E（ξ1）>E（ξ2），D（ξ1）>D（ξ2）

A　[由题意可知ξi（i＝1,2）服从两点分布，

∴E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2）．

又∵0

把方差看作函数y＝x（1－x），

根据0<ξ1<ξ2<知，D（ξ1）

3．（浙江高考）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1,2）个球放入甲盒中．

（1）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1,2）；

（2）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i＝1,2）．则（　　）

A．p1>p2，E（ξ1）

B．p1E（ξ2）

C．p1>p2，E（ξ1）>E（ξ2）

D．p1

A　[随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：

ξ1

1

2

P

ξ2

1

2

3

P