高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8 4椭 圆.docx

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高考数学一轮复习热点难点精讲精析84椭圆

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：

8.4椭圆

<一）椭圆的定义以及标准方程

※相关链接※

1.椭圆定义的应用

利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.b5E2RGbCAP

2.椭圆的标准方程

<1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1（a>b>0>；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1（a>b>0>；p1EanqFDPw

<2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1（m>0,n>0,m≠n>，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1（A>0,B>0,A≠B>这种形式,在解题时更简便.DXDiTa9E3d

求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：

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<1）作判断：

根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。

<2）设方程：

根据上述判断设方程。

<3）找关系：

根据已知条件，建立关于的方程组。

<4）得方程：

解方程组，将解代入所设方程，即为所求。

注：

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。

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※例题解读※

〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____；jLBHrnAILg

方法诠释：

注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；xHAQX74J0X

解读：

由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：

|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,

又已知|F2A|+|F2B|=12，

所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.

答案：

8

〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

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方法诠释：

设椭圆方程为→根据题意求→得方程。

解读：

设所求的椭圆方程为，

由已知条件得

故所求方程为

方法指导：

1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解；Zzz6ZB2Ltk

2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；dvzfvkwMI1

⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.

<二）椭圆的几何性质

※相关链接※

1.椭圆几何性质中的不等关系

椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。

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2.利用椭圆几何性质应注意的问题

求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.EmxvxOtOco

3.求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式<或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.或者是：

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应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。

离心率e与的关系：

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注：

椭圆离心率的范围:

0

※例题解读※

〖例〗已知椭圆的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M<在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。

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（1）求椭圆的离心率；

（2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围。

思路解读：

由与是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于的等量关系，从而求得离心率；若求∠的取值范围，即需求cos∠的范围，用余弦定理即可。

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解答：

<1）设<-c,0）,则

（3）设||=，||=，∠=，∴+=2，||=2

注：

熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率时，除已知等式外，还需一个关于的等式，即可求得。

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<三）直线与椭圆的位置关系

※相关链接※

1．直线与椭圆位置关系的判定

把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：

<1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；

<2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；

<3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。

故直线与椭圆位置关系判断的步骤：

第一步：

联立直线方程与椭圆方程；

第二步：

消元得出关于x<或y）的一元二次方程；

第三步：

当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.

2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于两点，则

注：

解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。

3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法

注：

利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

※例题解读※

※〖例1〗中心在原点，一个焦点为F1<0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程

思路解读：

根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1<0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可0YujCfmUCw

解答：

设椭圆的标准方程为，由F1<0，）得

把直线方程代入椭圆方程整理得：

。

设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：

，又AB的中点横坐标为，

，与方程联立可解出

故所求椭圆的方程为：

。

〖例2〗已知椭圆：

，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长

解答：

a=3,b=1,c=2，则F<-2，0）。

由题意知：

与联立消去y得：

。

设A<、B<，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，

所以|AB|=

<四）与椭圆有关的综合问题

〖例〗如图，

已知椭圆C：

经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0>有直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点eUts8ZQVRd

<1）是否存在k，使对任意m>0,总有成立？

若存在，求出所有k的值；

<2）若，求实数k的取值范围。

思路解读：

第<1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由可知M点为ON中点，用坐标表示相关量可求。

第<2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。

解答：

椭圆C：

，直线AB的方程为：

y=k（x-m>.

由

消去y得

设，则

则

若存在k,使总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，

∴

∴

即N点的坐标为。

由N点在椭圆上，则

即

即

故存在k=±1,使对任意m>0，总有成立。

<2）

由得

即

注：

探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。

因此越来越受到高考命题者的青睐。

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<1）本题第<1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。

相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少<只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。

解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。

探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。

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<2）第<2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。

在历年高考中占有较稳定的比重。

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