九年级中考数学 专题冲刺训练一元二次方程及其应用含答案Word文件下载.docx

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且k≠0

C．k＜－

D．k≥－

且k≠0

7.能说明命题“关于x的方程x2－4x＋m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（　　）

A．m＝－1B．m＝0C．m＝4D．m＝5

8.若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为（　　）

A．M≥NB．M＞NC．M≤ND．M＜N

二、填空题

9.已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　　　　. 

10.设x1，x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x1+x2-x1·

x2=　　　　. 

11.配方法解一元二次方程x2－2

x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________．

12.你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢!

以方程x2+5x-14=0，即x（x+5）=14为例加以说明.数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:

构造图（如图1）中大正方形的面积是（x+x+5）2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×

14+52，据此易得x=2.那么在图2所示三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是　　　　.（只填序号） 

图1

图2

13.小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：

x2－2x＝－1.（第一步）

x2－2x＋1＝－1＋1.（第二步）

（x－1）2＝0.（第三步）

x1＝x2＝1.（第四步）

（1）小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；

（2）请写出此题正确的解答过程．

14.相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．

15.2018·

内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1＝0的两根之和为________．

16.某校课外生物小组的试验园地是长32m，宽20m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为xm的小道（图中的阴影部分）．

（1）如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2（用含x的代数式表示）；

（2）如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570m2，则小道的宽度为________m.

三、解答题

17.当x满足条件

时，求出方程x2-2x-4=0的根.

18.解一元二次方程3x2=4-2x.

19.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.

（1）问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？

（参考数据：

≈0.95）

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？

请说明理由．

20.2019·

北京若关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

21.为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元？

22.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.

（1）求k的取值范围;

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值.

23.某广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位，在不超过规定的面积a（m2）的范围内，每张广告费1000元，如果超过a（m2），那么除了要交1000元的广告费以外，超过的部分还要按每平方米50a元交费．下表是该公司对两家用户广告的收费面积和广告费情况的记录．

红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5m，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告的收费面积．这张广告的长、宽之比为3∶2，并且红星公司为此支出110400元的广告费．

（1）求a的值；

（2）红星公司要制作的这张广告的长和宽各是多少米？

解题突破（7题）

利用烟草公司及食品公司的广告费建立方程求a的值，利用红星公司支出的广告费和收费标准求其广告的收费面积，利用收费面积和已知条件求这张广告的长与宽．

24.阅读理解：

先阅读下面的内容，再解决问题．

例题：

若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．

解：

因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，

所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，

所以（m＋n）2＋（n－3）2＝0，

所以m＋n＝0，n－3＝0，

所以m＝－3，n＝3.

问题：

（1）若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值；

（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的取值范围．

一元二次方程及其应用-答案

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D　【解析】设2007年国内生产总值为a，依题意得a（1＋12%）×

（1＋7%）＝a（1＋x%）2，即（1＋12%）（1＋7%）＝（1＋x%）2.

4.【答案】A　[解析]x2－5x＋6＝0.

左边分解因式，得（x－2）（x－3）＝0.

解得x＝2或x＝3.

即直角三角形的两条直角边长分别为2，3.

根据勾股定理得斜边长为

＝

.

5.【答案】A　[解析]因为b＋c＝5，所以c＝5－b.因为Δ＝b2－4×

3×

（－c）＝b2－4×

（b－5）＝（b－6）2＋24>

0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．

6.【答案】B

7.【答案】D　[解析]方程根的判别式Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4m＝16－4m，当Δ<

0时，方程无实数根，∴当16－4m<

0，即m>

4时，原方程无实数根，四个选项中，只有m＝5符合条件．故选D.

8.【答案】A　[解析]M－N＝（2x2－12x＋15）－（x2－8x＋11）

＝x2－4x＋4

＝（x－2）2.

∵（x－2）2≥0，

∴M≥N.

9.【答案】k<

-

　[解析]∵关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+3=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=（2k-1）2-4（k2+3）>

0，解得k<

10.【答案】1

11.【答案】

－1　

＋1

12.【答案】②　[解析]∵x2-4x-12=0，即x（x-4）=12，

∴构造如题图②中大正方形的面积是（x+x-4）2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×

12+42，据此易得x=6.故填②.

13.【答案】解：

（1）一　移项时没有变号

（2）x2－2x＝1.

x2－2x＋1＝1＋1.

（x－1）2＝2.

x－1＝±

.

所以x1＝1＋

，x2＝1－

14.【答案】5，6　[解析]设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x＋1）．

根据题意，得x2＋（x＋1）2＝2x＋51，

解得x1＝5，x2＝－5（舍去）．

则这两个自然数分别为5，6.

15.【答案】1　[解析]设x＋1＝t，方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1＝0的两根分别是x3，x4，

∴at2＋bt＋1＝0.

由题意可知：

t1＝1，t2＝2，

∴t1＋t2＝3，

∴x3＋x4＋2＝3，

∴x3＋x4＝1.

16.【答案】

（1）20（32－x）　

（2）1

[解析]

（1）根据题意，得剩余部分的面积为20（32－x）m2.

（2）根据题意，得（32－2x）（20－x）＝570，

解得x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）．

即小道的宽度为1m.

17.【答案】

解:

由

解得2<

x<

4.

解方程x2-2x-4=0，得x1=1+

，x2=1-

∵2<

<

3，

∴3<

1+

4，符合题意;

-2<

1-

-1，不符合题意，舍去.∴x=1+

18.【答案】

3x2=4-2x，即3x2+2x-4=0，

Δ=b2-4ac=4-4×

（-4）=52>

0，

∴x=

，

∴x1=

，x2=

19.【答案】

（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，得

14000（1－x）2＝12600.

化简，得（1－x）2＝0.9.

解得x1≈0.05，x2≈1.95（不合题意，舍去）．

因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%.

（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600（1－x）2＝12600×

0.9＝11340>

10000.

由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2.

20.【答案】

∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，

∴b2－4ac＝4－4（2m－1）≥0，

解得m≤1.

∵m为正整数，

∴m＝1，

∴原方程为x2－2x＋1＝0，

则（x－1）2＝0，

解得x1＝x2＝1.

21.【答案】

（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：

6000（x＋1）2＝8640，（2分）

解得x1＝－2.2（舍去），x2＝0.2.（3分）

答：

这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.（4分）

（2）2017年该县投入教育经费为：

8640×

（0.2＋1）＝10368（万元），（5分）

预算2017年该县将投入教育经费为10368万元．（6分）

22.【答案】

（1）由一元二次方程x2-3x+k=0有实数根，得b2-4ac=9-4k≥0，∴k≤

（2）k可取的最大整数为2，∴方程可化为x2-3x+2=0，该方程的根为1和2.

∵方程x2-3x+k=0与一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0有一个相同的根，

∴当x=1时，方程为（m-1）+1+m-3=0，解得m=

;

当x=2时，方程为（m-1）×

22+2+m-3=0，解得m=1（不合题意）.

故m=

23.【答案】

（1）由题中表格可知3≤a＜6.

根据题意，得1000＋50a（6－a）＝1400，

解得a1＝4，a2＝2（舍去），则a＝4.

（2）设这张广告的收费面积为Sm2，根据题意，得

1000＋50×

4（S－4）＝110400，解得S＝551.

设这张广告的长、宽分别为3xm，2xm.

根据题意，得（3x－1）（2x－1）＝551，

整理，得6x2－5x－550＝0，

解得x1＝10，x2＝－

（舍去），

则3x＝30，2x＝20.

红星公司要制作的这张广告的长和宽分别是30m和20m.

24.【答案】

（1）因为x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，

所以x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4＝0，

所以（x－y）2＋（y＋2）2＝0，

则x－y＝0，y＋2＝0，

解得x＝－2，y＝－2，

所以xy＝（－2）－2＝

（2）因为a2＋b2＝12a＋8b－52，

所以a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，

即（a－6）2＋（b－4）2＝0，

则a－6＝0，b－4＝0，

解得a＝6，b＝4，

所以2＜c＜10.