云南师大附中届高考适应性月考八理科数学试题 扫描版.docx
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云南师大附中届高考适应性月考八理科数学试题扫描版
云南师大附中2015届高考适应性月考（八）理科数学试题
云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
B
C
D
B
C
B
C
B
C
【解析】
1．因为，，所以，故选D．
2．由，故选A．另该题也可直接用的周期性解答．
3．因为，所以，，故选B．
4．画出可行域，易知当时，有最小值，代入得，故选B．
5．正态分布的密度函数示意图如图1所示，函数关于直线对称，所以，并且，则，故选C．
6．由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“”的否定是“”，C错；由是真命题可知和都是真命题，故一定是假命题，D正确，故选D．
7．依题意，有可得，即，故有，故选B．
8．，故选C．
9．，，所以，故选B．
10．易知该几何体是一三棱锥，其体积，故选C．
11．由题意：
，解得：
，故选B．
12．在斜坐标系下，设圆上的点，则，所以，，由，得，整理得：
，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
15
【解析】
13．易知：
圆心，，所以圆的标准方程为．
14．，所以所求概率为．
15．．
16．以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则，设，向量，则有，，所以，由题意得，．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
，……………………………………（1分）
，所以，
因为，所以，所以．……………………（3分）
由余弦定理知：
，
因为，由正弦定理知：
，…………………………………（5分）
解得：
．……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由条件知，所以，
所以，
因为，所以，即，
又，，
于是．……（8分）
，，…………………………………（10分）
∴，即．………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设甲队获胜为事件A，所以．
………………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为3，4，5，……………………………………（5分）
；…………………………………………………………（6分）
；…………………………………………（7分）
，……………………………………………………（8分）
X的分布列为：
X
3
4
5
P
所以．……………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
如图2，在直角梯形中，过作于点，
则四边形为矩形，∴，
又，∴，
在中，，∴，，………………（3分）
∴，则，
∴．……………………………………………………………………（4分）
又∵，∴，…………………………………………（5分）
，∴．……………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：
方法一：
如图3，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则由题设可知：
，………………………………………（7分）
∴，
设为平面的一个法向量，
则即
设，则，∴，……………………………………（9分）
同理设为平面的一个法向量，
求得，………………………………………………………………（10分）
∴，………………………………………（11分）
∴．…………………………………………………………………（12分）
方法二：
∵，，
∴，∴，
又，，……………………………………………………（8分）
∴，
∴点到的距离，………………………………………（9分）
在三棱锥中，
，
∴点到平面的距离，……………（11分）
∴．………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）把点代入，可得，
所以椭圆C的方程为，
椭圆C的离心率为．…………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）当的平分线为时，由和知：
轴．
记的斜率分别为，
所以，的斜率满足，
设直线的方程为，
代入椭圆方程并整理可得，，
，，………………（6分）
所以………（8分）
=，……………………………………（11分）
即，所以．……………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：
，所以切线斜率，
切线方程为：
．………………………………………………（5分）
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）在处的切线方程为，
即．…………………………………………（7分）
下面证明，
令，
∵
，…………………………………………（9分）
∴时，，时，，∴，
∴，
∵，∴，
，
∴．………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：
几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：
∵，
又，
直线DE为圆O的切线，，
故．…………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：
且，
，
又，，……………………………………（8分）
，
故．……………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：
坐标系与参数方程】
解：
（Ⅰ）由得，
从而曲线C的直角坐标方程为，
即，
时，，所以，
时，，所以．……………………………………（5分）
（Ⅱ）M点的直角坐标为，N点的直角坐标为，
所以P点的直角坐标为，则点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为．………………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：
不等式选讲】
证明：
（Ⅰ）……………………（2分）
，………………（4分）
当且仅当时，等号成立．…………………………………………（5分）
（Ⅱ）
，当且仅当时，等号成立．…………（10分）
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