角的相关计算和证明 Microsoft Word 文档Word文件下载.docx
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求∠2的度数.
(2)如图,AD∥BC,∠1=40°
,∠2=78°
,求∠ADC的度数.
3.(12月10日)如图,AD∥BC,AB∥CD,点E在CB的延
长线上,∠C=50°
,求∠A的度数.
∵AB∥CD(已知)
∴∠C=_____(两直线平行,同位角相等)
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=_____(____________________)
∴____=____(等量代换)
∵∠C=50°
∴∠A=_____(等量代换)
4.(12月11日)已知:
如图,点E在四边形ABCD的边AD
的延长线上,∠1=∠2,∠A=50°
,求∠3的度数.
5.(12月12日)请根据过程示范,完成下列题目.
如图,D是△ABC的边AC上的一点,∠A=60°
∠ABD=20°
,求∠BDC的度数.
∵∠BDC是△ABD的一个外角
(外角的定义)
∴∠BDC=∠A+∠ABD
(三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和)
∵∠A=60°
,∠ABD=20°
=60°
+20°
=80°
(等量代换)
如图,D是△ABC的边AB上的一点,∠B=53°
∠BCD=32°
【参考答案】
1.
(1)AB∥CD
∠1=∠2;
两直线平行,内错角相等
∠2=70°
,等量代换
(2)AB∥CD
AB∥CD
∠3+∠4=180°
;
两直线平行,同旁内角互补
等式性质
70°
,70°
,140°
2.
(1)解:
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)
∵∠1=110°
∴∠3=110°
∴∠2=70°
(平角的定义)
(2)解:
∵AD∥BC(已知)
∴∠1=∠ADB(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=40°
∴∠ADB=40°
∵∠2=78°
∴∠ADC=∠ADB+∠2
=40°
+78°
=118°
(等式性质)
3.∠ABE
∠ABE;
∠A,∠C
50°
4.解:
∵∠1=∠2(已知)
∴CD∥AB(内错角相等,两直线平行)
∴∠3=∠A(两直线平行,同位角相等)
∵∠A=50°
∴∠3=50°
5.解:
∵∠ADC是△BCD的一个外角(外角的定义)
∴∠ADC=∠B+∠BCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵∠B=53°
,∠BCD=32°
∴∠ADC=53°
+32°
=85°
角的相关计算和证明(讲义)
一、知识点睛
在证明的过程中,
由平行想到____________、____________、____________;
由垂直想到__________________、_____________________;
由外角想到________________________________________.
二、精讲精练
1.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°
,∠CEF=155°
,则
∠BCE=_________.
第1题图第2题图
2.如图,在正方形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°
,G是BC边上一点,连接DG,AE⊥DG于E,CF⊥DG于F.若∠DAE=25°
,则∠GCF=_________.
3.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,∠B=∠C=45°
,在Rt△AFG中,∠G=90°
,∠F=∠FAG=45°
,∠CAG=20°
,则∠AEB=_________,∠ADC=_________.
第3题图第4题图
4.如图,ED⊥AB于D,EF∥AC,∠A=35°
,则∠DEF=______.
5.如图,在△ABC中,∠B=60°
,P为BC上一点,且∠1=∠2,则∠APD=________.
6.已知:
如图,直线BD交CF于点D,交AE于点B,连接AD,BC,∠1+∠2=180°
,∠A=∠C.求证:
DA∥CB.
证明:
如图,
∵∠1+∠2=180°
(__________________________)
∠2+∠CDB=180°
∴_______=_______(__________________________)
∴______∥________(__________________________)∴∠A+∠CDA=180°
(__________________________)∵∠A=∠C(__________________________)∴______+______=180°
(__________________________)∴DA∥CB(__________________________)
7.已知:
如图,E,F分别在AB,CD上,EC⊥AF,垂足为O,∠1+∠C=90°
,∠2=∠D.求证:
AB∥CD.
8.如图,在△ABC中,∠B=35°
,∠C=75°
,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,求∠EAD的度数.
9.已知:
如图,BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACE.
求证:
∠A=2∠P.
如图,设∠PBC=α,∠PCE=β
∵BP平分∠ABC(_______________________)
∴∠ABC=2∠PBC=2α(_______________________)
∵CP平分∠ACE(_______________________)∴∠ACE=______=_______(_______________________)∵∠ACE是△ABC的一个外角(_____________________)
∴2β=2α+∠A(_______________________)∴∠A=2(β-α)(_______________________)∵∠PCE是△BCP的一个外角(_____________________)
∴β=______+_______(_______________________)
∴∠P=β-α(_______________________)
∴∠A=2∠P(_______________________)
10.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠ACB,CD⊥AB,垂足为D.
∠A=2∠BCD.
1.同位角、内错角、同旁内角
2.直角三角形两锐角互余,同角或等角的余角相等
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
1.20°
2.25°
3.65°
4.125°
5.60°
6.已知
平角的定义
∠1,∠CDB;
同角的补角相等
AB,CD;
同位角相等,两直线平行
已知
∠C,∠CDA;
等量代换
同旁内角互补,两直线平行
7.证明:
∵EC⊥AF(已知)
∴∠COF=90°
(垂直的定义)
∴∠C+∠2=90°
(直角三角形两锐角互余)
∵∠1+∠C=90(已知)
∴∠1=∠2(同角的余角相等)
∵∠2=∠D(已知)
∴∠1=∠D(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
8.解:
∵∠B=35°
∴∠BAC=180°
-∠B-∠C
-35°
-75°
(三角形的内角和是180°
)
∵AE平分∠BAC(已知)
∴∠BAE=
∠BAC
=
×
=35°
(角平分线的定义)
∵∠AED是△ABE的一个外角(外角的定义)
∴∠AED=∠B+∠BAE
+35°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵AD⊥BC(已知)
∴∠ADE=90°
(垂直的定义)
∴∠EAD=90°
-∠AED
=90°
-70°
=20°
(直角三角形两锐角互余)
9.已知
角平分线的定义
2∠PCE,2β;
外角的定义
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
α,∠P;
10.证明:
在△ABC中,
∠A=180°
-∠B-∠ACB(三角形的内角和是180°
∵∠B=∠ACB(已知)
∴∠A=180°
-2∠B
=2(90°
-∠B)(等式性质)
∵CD⊥AB(已知)
∴∠BDC=90°
∴∠BCD=90°
-∠B(直角三角形两锐角互余)
∴∠A=2∠BCD(等量代换)
角的相关计算和证明(随堂测试)
1.已知:
如图,CD∥AB,∠DCB=70°
,∠CBF=20°
,∠F=130°
.
EF∥AB.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB交CD于点E,交BC于点F.
∠1=∠2.
∵∠ACB=90°
(__________________________)
∴∠CAF+∠2=90°
∵______________(__________________________)
∴∠EAD+∠AED=90°
(__________________________)
∵AF平分∠CAB(__________________________)
∴∠CAF=∠EAD(__________________________)
∴______________(__________________________)
∵∠1=∠AED(__________________________)
∴∠1=∠2(__________________________)
1.证明:
∵CD∥AB(已知)
∴∠DCB=∠ABC(两直线平行,内错角相等)
∵∠DCB=70°
(已知)
∴∠ABC=70°
(等量代换)
∵∠CBF=20°
∴∠ABF=∠ABC-∠CBF
-20°
=50°
(等式性质)
∵∠F=130°
(已知)
∴∠ABF+∠F=130°
+50°
∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
2.已知
直角三角形两锐角互余
CD⊥AB,已知
垂直的定义
∠2=∠AED,等角的余角相等
对顶角相等
角的相关计算和证明(作业)
例1:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC于点E.若∠ADE=80°
,∠EAC=20°
,则∠B=_______.
【思路分析】
①读题标注:
②梳理思路:
从条件出发,看到AE⊥BC想到直角三角形两锐角互余,再结合已知的角度可求出∠DAE=10°
,∠C=70°
由AD平分∠BAC可知∠BAC=60°
把∠B当作△ABC的一个内角,
则∠B=180°
-60°
(思路不唯一,也可将∠B作为△ABD的一个内角,则∠ADE是△ABD的一个外角,利用三角形的外角定理进行求解)
如图,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,C是线段BD上一点.若AC⊥CE,∠A=30°
,则∠E=______.
第1题图第2题图
2.已知:
如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°
,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2=____________.
如图,∠A=32°
,∠B=45°
,∠C=38°
,则∠DFE=()
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
4.已知:
如图,在△ABC中,∠A:
∠B=1:
2,DE⊥AB于E,且∠FCD=60°
,则∠D=()
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
5.已知:
如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
设∠DBC=α,∠DCB=β
∵BD平分∠ABC(___________________________)
∴∠ABC=2∠DBC=2α(___________________________)
∵CD平分∠ACB(___________________________)
∴∠ACB=______=_____(___________________________)
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°
(________________________)
∴2α+2β+∠A=180°
(等量代换)
∴α+β=_______________(等式性质)
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°
(________________________)
∴____________________(___________________________)
∴α+β=______________(___________________________)
∴
(等量代换)
(等式性质)
如图,AB∥DE,∠1=∠ACB,AC平分∠BAD.
AD∥BC.
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF⊥AD于点P,交BC延长线于点M.已知∠ACB=70°
,∠B=40°
,求∠M的度数.
1.60°
2.270°
3.B
4.A
5.已知
2∠DCB,2β;
三角形的内角和是180°
α+β+∠D=180°
180°
-∠D,等式性质
6.证明:
∵AB∥DE(已知)
∴∠1=∠BAC(两直线平行,同位角相等)
∵AC平分∠BAD(已知)
∴∠DAC=∠BAC(角平分线的定义)
∴∠1=∠DAC(等量代换)
∵∠1=∠ACB(已知)
∴∠DAC=∠ACB(等量代换)
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
7.解:
在△ABC中,∠ACB=70°
-∠ACB-∠B
-40°
(三角形的内角和是180°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=
∠BAC=
(角平分线的定义)
∵EF⊥AD(已知)
∴∠APF=90°
(垂直的定义)
∴∠AFP=90°
-∠DAC
=55°
(直角三角形两锐角互余)
∵∠CFM=∠AFP(对顶角相等)
∴∠CFM=55°
∵∠ACB是△CFM的一个外角(外角的定义)
∴∠M=∠ACB-∠CFM
-55°
=15°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和)