最优化方法线性规划用Lingo对线性规划进行灵敏度分析.docx
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最优化方法线性规划用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
lingo软件求解线性规划及灵敏度分析
注：
以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！
所有程序运行环境为lingo10。
一、用lingo软件求解线性规划
例1：
在模型窗口输入：
model:
max=2*x+3*y;
4*x+3*y<=10;
3*x+5*y<12;
!
theoptimalvalueis:
7.454545;
End
如图所示：
运行结果如下（点击工具栏上的‘solve’或点击菜单‘lingo’下的‘solve’即可）：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
7.454545（最优解函数值）
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2（迭代次数）
Variable（最优解）ValueReducedCost
X1.2727270.000000
Y1.6363640.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
17.4545451.000000
20.0000000.9090909E-01
30.0000000.5454545
例2：
在模型窗口输入：
model:
max=5*x1+4*x2;
x1+3*x2+x3=90;
2*x1+x2+x4=80;
x1+x2+x5=45;
end
运行（solve）结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
215.0000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
3
VariableValueReducedCost
X135.000000.000000
X210.000000.000000
X325.000000.000000
X40.0000001.000000
X50.0000003.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1215.00001.000000
20.0000000.000000
30.0000001.000000
40.0000003.000000
例3
在模型窗口输入：
model:
min=-x2+2*x3;
x1-2*x2+x3=2;
x2-3*x3+x4=1;
x2-x3+x5=2;
end
运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
-1.500000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X22.5000000.000000
X30.50000000.000000
X16.5000000.000000
X40.0000000.5000000
X50.0000000.5000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1-1.500000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.5000000
40.0000000.5000000
例4：
（非线性）
在模型窗口输入：
model:
min=@abs（x）+@abs（y）+@abs（z）;
x+y<=1;
2*x+z=4;
@free（x）;
@free（y）;
@free（z）;
End
求解器状态如下：
（可看出是非线性模型！
）
运行结果为：
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
12
Variables:
12
Integers:
3
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
（最优解函数值）3.000000
Objectivebound:
3.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
Variable（最优解）ValueReducedCost
X2.0000000.000000
Y-1.0000000.000000
Z0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13.000000-1.000000
20.0000001.000000
30.000000-1.000000
二、用lingo软件进行灵敏度分析实例
例5：
在模型窗口输入：
Lingo模型：
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
（一）求解报告（solutionreport）
通过菜单Lingo→Solve可以得到求解报告（solutionreport）如下：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
0
Infeasibilities:
0.000000
Objectivevalue:
280.0000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X2.0000000.000000
Y0.0000005.000000
Z8.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1280.00001.000000
224.000000.000000
30.00000010.00000
40.00000010.00000
55.0000000.000000
分析Value,ReducedCost，SlackorSurplus，DualPrice的意义如下：
1、最优解和基变量的确定
Value所在列给出了问题的最优解。
由于基变量取值非零，因此Value所在列取值非零的决策变量x,z是基变量。
2、差额成本
ReducedCost（或opportunitycost）所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个单位时，目标函数值的减少量。
例如：
第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。
例如：
当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。
可通过如下模型可检验：
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
y=1;
end
注：
（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数至少增加5，那么生产y才会有利！
（2）基变量的ReducedCost值为0，只有非基变量的ReducedCost值才可能不为0；故由value,和ReducedCost值分析可知y为非基变量。
3、松弛变量取值
SlackorSurplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。
目标函数行的SlackorSurplus值没啥意义，不用考虑。
可通过如下模型检验：
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z+s1=48;
4*x+2*y+1.5*z+s2=20;
2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;
y+s4=5;
end
4、对偶价格（影子价格）
DualPrice所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的增加量。
注，只有紧约束行的DualPrice值不为0。
例如：
要检验第三行约束，可通过如下模型：
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<21;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
（二）灵敏度分析报告
首先设置：
Lingo→Options→Generalsolver→Dualcomputations→PricesandRange。
当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单Lingo→Range，可得灵敏度分析报告：
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X60.0000020.000004.000000
Y30.000005.000000INFINITY
Z20.000002.5000005.000000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
248.00000INFINITY24.00000
320.000004.0000004.000000
48.0000002.0000001.333333
55.000000INFINITY5.000000
分析ObjectiveCoefficientRanges，RighthandSideRanges的意义如下：
（不必控制变量，可以同时改变多个值）
1、目标函数中系数的变化对最优基的影响
ObjectiveCoefficientRanges表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。
以变量x的系数为例：
当x的系数在（开区间）内取值时，最优基保持不变。
此时，最优解不变，最优目标函数值变了。
例如：
可通过如下模型检验：
model:
max=56.0001*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
2、约束条件右端常数变化对最优基的影响
RighthandSideRanges表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不变。
以第一个约束行为例：
当右端项在（开区间）内取值时，最优基保持不变。
此时，最优解不变，目标函数的最优值变化了。
例如：
可通过如下模型检验：
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<4800;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
注：
关于lingo软件的更广泛的应用见相关参考书或者lingo软件的帮助文档！
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lingo常用约束函数
@bin（x）
定义x为0-1变量
@gin（x）
定义x为整数变量
@free（x）
x无限制（lingo模型里面，变量被默认为非负，即任意变量x>=0）
@bnd（a,x,b）
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