数学f1初中数学第12部分二次函数.docx
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数学f1初中数学第12部分二次函数
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第12部分二次函数
第1课时二次函数的意义
课标要求
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
中招考点
二次函数的概念及意义.
典型例题
例1下列函数中，哪些是二次函数？
（1）；
（2）；
（3）；（4）.
分析：
形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax2+bx+c的形式，如果a≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.
例2m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析：
若函数是二次函数，须满足的条件是：
．
解：
若函数是二次函数，则．
解得且．
因此，当且时，函数是二次函数．
归纳反思
形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索：
若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
例3写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解：
（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；
（3）由题意，得（x≥0且是正整数），
其中y是x的一次函数；
（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．
例4正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
（1）求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
（2）当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解:
（1）；
（2）当x=3cm时，（cm2）．
强化练习
一、选择题：
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）
A．B．C．D．
2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）
A．xy=x2＋1B.x2+y–2=0C.y2–ax=–2D.x2–y2+1=0
3．若二次函数y=（m+1）x2+m2–2m–3的图象经过原点，则m的值必为（）
A．–1和3B.–1C.3D.无法确定
4.对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：
（1）开口方向不同；
（2）形状完全相同；（3）对称轴相同.其中正确的有（）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
5.根据如图的程序计算出函数值，若输入的x的值为，则输出的结果为（）.
A．B.C.D.
二、填空题：
6．当时，函数是二次函数.
7．当k为值时，函数为二次函数.
8．如果函数是二次函数，那么m的值为.
9．已知函数是二次函数，则m的值为．
10．已知抛物线y=（m–1）x2，且直线y=3x+3–m经过一、二、三象限，则m的范围是.
11．若函数y=（m2–1）x3+（m+1）x2的图象是抛物线，则m=.
12．已知函数，当m=时，它是二次函数；当m=时，抛物线的开口向上；当m=时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
13．抛物线，开口向下，且经过原点，则k=．
14．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a=；A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线上的是．
15．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是．
16．已知函数．当m时，函数的图象是直线；当m
时，函数的图象是抛物线；当m时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．
第2课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课标要求
1．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
2．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题.
中招考点
1．二次函数的图象及性质，尤其是二次函数图象的增减性和对称性.
2．利用数形结合、整体思想、图形变换等解决相关问题.
第一类二次函数y=ax2的图象和性质
典型例题
例1已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
分析：
我们知道：
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点，a的绝对值越大，图象越靠近y轴.
①当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，函数图象有最低点（0，0）.
②当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，函数图象有最高点（0，0）.
基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论.
解：
（1）由题意，得，解得k=2．
（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．
分析：
此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：
（1）由题意，得．
列表：
C
2
4
6
8
…
1
4
…
描点、连线，图象如图．
（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．
归纳反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
强化练习
一、选择题
1．在同一坐标系中，作y=2x2，y=–2x2，y=x2的图象，它们的共同特点是（）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
2．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的范围是（）
A．m＜–1B.m＜1C.m＞–1D.m＞–2
3．已知二次函数y=–ax2，下列说法不正确的是（）
A．当a＞0，x≠0时，y总取正值
B．当a＜0，x＜0时，y随x的增大而减小
C．当a＜0时，函数图象有最低点，即y有最小值
D．当a＜0时，y=–ax2的图象的对称轴是y轴
4．对于y=ax2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（）
A.a越大开口越大，a越小开口越小B.a越大开口越小，a越小开口越大
C.|a|越大开口越小，|a|越小开口越大D.|a|越大开口越大，|a|越小开口越小
5.直线y=ax与抛物线y=ax2（a≠0）（）
A.只相交于一点（1，a）B.相交于两点（0，0），（1，a）
C.没有交点D.只相交于一点（0，0）
6.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）
A.y=πx2–4B.y=π（2–x）2C.y=–（x+4）2D.y=–πx2+16π
二、填空题
7．函数的开口，对称轴是，顶点坐标是.
8．当m=时，抛物线开口向下．
9．已知函数是二次函数，它的图象开口，当x时，y随x的增大而增大．
10．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大，则k值为.
11．已知抛物线经过点（1，3），当y=9时，x的值为．
12．如果抛物线y=ax2和直线y=x+b都经过点P（2，6），则a=，b=.
13．把函数y=–3x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式是.
14．经过A（0，1）点作一条与x轴平行的直线与抛物线y=4x2相交于点M、N，则M、N两点的坐标分别为.
15．函数y=-（x）2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口向，当x=时，函数有最值；在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧，y随x的增大而.
第二类y=ax2+k的图象和性质
回顾：
通过怎样的平移，可以由抛物线y=ax2得到抛物线y=ax2+k？
仔细梳理，认真填写：
（a.k是常数，a≠0）
开口方向
对称轴
顶点坐标
如何由y=ax2得到
k＞0
K＜0
归纳反思抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）.
（1）当k＞0时，抛物线是由抛物线y=ax2向上平移k个单位得到的；
（2）当k＜0时，抛物线是由抛物线y=ax2向下平移－k个单位得到的.
这个结论很重要，要在理解的基础上加深记忆.
典型例题
例一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解：
由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作.
又因为抛物线经过点（1，1），所以，，解得．
故所求函数关系式为．
强化练习
一、选择题
1．（宁安市实验区2004年中考）函数的图象与轴的交点坐标是（）
A.（2，0）B.（，0）C.（0，4）D.（0，）
2．在同一坐标系中，函数，，的图象的共同特点是（）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
3．在同一直角坐标系中，y=ax2+b与y=ax+b（a、b都不为0）的图象的大致位置是（）
二、填空题
4．抛物线的开口向，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
5．函数，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值y=．
6．如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式
是.
第三类y=a（x－h）2的图象和性质
回顾：
抛物线与抛物线y=ax2有什么关系？
归纳反思
（a.h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
开口方向
对称轴
顶点坐标
如何由y=ax2得到
h＞0
h＜0
典型例题
不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?
解：
抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．
因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．
强化练习
填空题
1．抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
2．函数，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．
3．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点
（1，3），则的值为．
第四类y=a（x－h）2＋k的图象和性质
回顾：
抛物线+k与之间存在什么样的平移规律？
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