空间中直线与直线之间的位置关系附答案Word文件下载.docx
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文字语言
平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性
符号语言
⇒a∥b
图形语言
知识点三 空间等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°
作用
判断或证明两个角相等或互补
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?
答 纷歧定.这两条直线可能相交、平行或异面
知识点四 异面直线所成的角
1.概念:
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成的角θ的取值范围:
0°
<θ≤90°
.
3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.
(1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.
(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).
题型一 空间两条直线的位置关系的判定
例1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面
谜底 D
解析 可借助长方体来判断.
如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
谜底
(1)平行
(2)异面
(2)相交 (4)异面
解析
序号
结论
理由
(1)
平行
因为A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C
(2)
异面
A1B与B1C分歧在任何一个平面内
(3)
相交
D1D∩D1C=D1
(4)
AB与B1C分歧在任何一个平面内
题型二 公理4、等角定理的应用
例2 E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证:
四边形B1EDF是平行四边形.
证明 设Q是DD1的中点,
连接EQ,QC1.
因为E是AA1的中点,
所以
又因为在矩形A1B1C1D1中,
又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点,
所以四边形DQC1F为平行四边形.
又因为
所以
所以四边形B1EDF为平行四边形.
跟踪训练2
如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:
AC⊥BD.
证明
(1)在△ABD中,
∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由
(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形,
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
题型三 异面直线所成的角
例3 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解 如图,取BD的中点G,连接EG,FG.
因为E,F分别为BC,AD的中点,
AB=CD,
所以EG∥CD,GF∥AB,
且EG=
CD,GF=
AB.
所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角,EG=GF.
因为AB⊥CD,
所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°
所以△EFG为等腰直角三角形.
所以∠GFE=45°
即EF与AB所成的角为45°
跟踪训练3 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°
E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的年夜小.
解 取AC的中点G,连接EG,FG,
则EG
AB,GF
CD.
故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,
直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°
∴∠EGF=30°
或150°
由AB=CD,知EG=FG,∴△EFG为等腰三角形.
当∠EGF=30°
时,∠GEF=75°
;
当∠EGF=150°
时,∠GEF=15°
故EF与AB所成的角为15°
或75°
转化与化归思想
例5 在空间四边形ABCD中,AD=BC=2a,E,F分别是AB,CD的中点,EF=
a,求异面直线AD,BC所成的角.
分析 要求异面直线AD,BC所成的角,可在空间中找一些特殊点,将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点,故可寻找一边中点,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)为所求角.
解 如图,取BD的中点M.由题意,知EM为△BAD的中位线,
所以EM∥AD且EM=
AD.
同理,MF∥BC且MF=
BC.
所以EM=a,MF=a,且∠EMF(或其补角)为所求角.
在等腰△MEF中,取EF的中点N,
连接MN,则MN⊥EF.
又因为EF=
a,
所以EN=
a.
故有sin∠EMN=
=
所以∠EMN=60°
所以∠EMF=2∠EMN=120°
因为∠EMF=120°
>90°
所以AD,BC所成的角为∠EMF的补角,
即AD和BC所成的角为60°
反证法的合理应用
例6 如图,三棱锥P-ABC中,E是PC上异于点P的点.求证:
AE与PB是异面直线.
分析 利用界说直接证明,即从分歧在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一个平面地寻找是不成能实现的,因此必需找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方法.
证明 假设AE与PB不是异面直线,
设AE与PB都在平面α内,
因为P∈α,E∈α,所以PE⊂α.
又因为C∈PE,所以C∈α.
所以点P,A,B,C都在平面α内.
这与P,A,B,C不共面(P-ABC是三棱锥)矛盾.
于是假设不成立,所以AE与PB是异面直线.
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°
角的异面直线( )
4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则暗示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.
一、选择题
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°
则β即是( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°
或120°
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BA1与CC1所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.下面四种说法:
①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面;
②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交;
③若a∥b,则a、b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )
5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )
6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )
7.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )
D.AE与B1C1所成的角为60°
二、填空题
8.在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.
9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________.
10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为______.
三、解答题
11.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
BC=
DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
12.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?
(3)在
(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:
EG=FH.
当堂检测谜底
1.谜底 D
解析 若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;
若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
2.谜底 B
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线,故选B.
3.谜底 A
解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°
角的圆锥面的所有母线都与l成30°
角.
4.谜底②④
解析①中,∵G,M是中点,∴AG綊BM,∴GM綊AB綊HN,∴GH∥MN,即G,H,M,N四点共面;
②中,∵H,G,N三点共面,且都在平面HGN内,而点M显然不在平面HGN内,∴H,G,M,N四点不共面,即GH与MN异面;
③中,∵G,M是中点,∴GM綊
CD,∴GM綊
HN,即GMNH是梯形,则HG,MN必相交,∴H,G,M,N四点共面;
④中,同②,G,H,M,N四点不共面,即GH与MN异面.
5.谜底
解析 设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,
所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
在△AED1中,
cos∠AED1=
课时精练谜底
解析 可能相交也可能异面,但一定不服行(否则与条件矛盾).
2.谜底 D
解析 由等角定理,知β与α相等或互补,故β=60°
3.谜底 B
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角,故为45°
4.谜底 D
解析 若a、b异面,b、c异面,则a、c相交、平行、异面均有可能,故①分歧毛病.若a、b相交,b、c相交,则a、c相交、平行、异面均有可能,故②分歧毛病.若a⊥b,b⊥c,则a、c平行、相交、异面均有可能,故④分歧毛病.③正确.
5.谜底 D
解析 如图,因为BD⊥AC,且BD=AC,又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以FG
EH
BD,HG
EF
AC.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.
6.谜底 B
解析 设截面四边形为EFGH,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EF=GH=
AC=4,FG=HE=
BD=6,∴周长为2×
(4+6)=20.
7.谜底 C
解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A毛病;
由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B毛病;
同理AE与B1C1是异面直线,C正确;
而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D毛病.综上所述,故选C.
8.谜底 8
解析 以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不成能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×
2=8(对)异面直线.
9.谜底①③
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
10.谜底 60°
解析 连接BC1,A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.
在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,
∴∠A1BC1=60°
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°
11.解 取AC的中点F,连接EF,BF,
在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中,BC=
AB=AC,∴AB=AC=1,
在Rt△EAB中,AB=1,AE=
AD=
∴BE=
在Rt△AEF中,AF=
AC=
AE=
∴EF=
在Rt△ABF中,AB=1,AF=
∴BF=
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB=
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
12.
(1)证明 因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.
又因为CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥DB.
所以EH∥FG.
所以E,F,G,H四点共面.
(2)解 当且仅当EH∥FG,EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.
因为
所以EH=
BD.
同理FG=
BD,由EH=FG,得m=n.
故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.
(3)证明 当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,
所以EF∥AC.
又因为AC⊥BD,而∠FEH是AC与BD所成的角,
所以∠FEH=90°
从而平行四边形EFGH为矩形,
所以EG=FH.