高考文科数学圆锥曲线专题复习.docx

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高考文科数学圆锥曲线专题复习

高三文科数学专题复习之圆锥曲线

知识归纳：

名称

椭圆

双曲线

图象

定义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即

当2﹥2时，轨迹是椭圆，

当2＝2时，轨迹是一条线段

当2﹤2时，轨迹不存在

平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即

当2﹤2时，轨迹是双曲线

当2＝2时，轨迹是两条射线

当2﹥2时，轨迹不存在

标准方程

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

注：

根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

常数的关系

，，

最大，

，

最大，可以

渐近线

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

抛物线：

图形

方程

焦点

准线

（一）椭圆

1.椭圆的性质：

由椭圆方程

（1）范围：

，椭圆落在组成的矩形中。

（2）对称性:

图象关于y轴对称。

图象关于x轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：

椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

，。

加两焦点共有六个特殊点。

叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。

长分别为。

分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：

椭圆焦距与长轴长之比。

。

。

椭圆形状与的关系：

，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。

椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。

2.椭圆的第二定义：

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3.椭圆的准线方程

对于，左准线；右准线

对于，下准线；上准线

焦点到准线的距离（焦参数）

（二）双曲线的几何性质：

1.

（1）范围、对称性

由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（2）顶点

顶点：

，特殊点：

实轴：

长为2a,a叫做实半轴长。

虚轴：

长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

（3）渐近线

过双曲线的渐近线（）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：

e>1

双曲线形状与e的关系：

，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

2.等轴双曲线

定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。

3.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：

或写成。

4.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：

三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确定双曲线的共轭双曲线的方法：

将1变为－1。

5.双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。

其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。

常数e是双曲线的离心率。

6.双曲线的准线方程：

对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；

焦点到准线的距离（也叫焦参数）。

对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。

（三）抛物线的几何性质

（1）范围

因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性

以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

（3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。

（4）离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。

由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】

例1.根据下列条件，写出椭圆方程

（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；

（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。

分析：

求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。

解：

（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上

因此有两解：

（2）焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,（a>b>0），由已知条件有，故方程为。

（3）设椭圆方程为,（a>b>0）

由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝

故所求椭圆的方程是。

例2.直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？

当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

解：

把代入

整理得：

……

（1）

当时，

由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点

若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。

故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

例3.已知抛物线方程为（p>0），直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。

解：

设与抛物线交于

由距离公式|AB|＝

则有

由

从而

即

由于p>0，解得

例4.过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

解法一：

由e=,得,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A（x1,y1）,B（x2,y2）在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，

（x12－x22）+2（y12－y22）=0,

设AB中点为（x0,y0）,则kAB=－,

又（x0,y0）在直线y=x上，y0=x0,

于是－=－1,kAB=－1,

设l的方程为y=－x+1.

右焦点（b,0）关于l的对称点设为（x′,y′）,

由点（1,1－b）在椭圆上，得1+2（1－b）2=2b2,b2=.

∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1.

解法二：

由e=,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x－1）,

将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x2－4k2x+2k2－2b2=0,

则x1+x2=,y1+y2=k（x1－1）+k（x2－1）=k（x1+x2）－2k=－.

直线l：

y=x过AB的中点（）,则,

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－（x－1）,即y=－x+1,以下同解法一.

解法3：

设椭圆方程为

直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。

故可设直线

，

，，，

，，

，，

，，，

，，

则，

，，

，

所以所求的椭圆方程为：

例5.如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

解：

以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为=1（a＞0,b＞0）

由e2=，得.

∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x

设点P1（x1,x1）,P2（x2,－x2）（x1＞0,x2＞0）,

则由点P分所成的比λ==2,

得P点坐标为（）,

又点P在双曲线=1上，

所以=1,

即（x1+2x2）2－（x1－2x2）2=9a2,整理得8x1x2=9a2①

即x1x2=②

由①、②得a2=4,b2=9

故双曲线方程为=1.

例6.已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：

直线DE是否过定点？

试证明你的结论.

（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：

直线DE过定点，并求出这个定点.

解：

（1）设

【模拟试题】（答题时间：

50分钟）

1、选择题

1.是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

2.已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（）

A.7或－7B.4或12C.1或15D.0

3.双曲线的离心率，则的取值范围为（）

A.B.（－12，0）C.（－3，0）D.（－60，－12）

4.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　　　）

A.B.

C.D.

5.抛物线的焦点坐标为（）

A.B.C.D.

6.已知点A（－2，1），的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是（）

A.B.C.D.

7.已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（）

A.B.

C.D.

8.抛物线到直线距离最近的点的坐标为（）

A.B.C.D.

9.动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（）

A.（4，0）B.（2，0）C.（0，2）D.（0，－2）

10．中心在原点，焦点在坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（）

二、填空题

11.到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。

12.双曲线的一条准线是，则___________。

13.已知点（－2，3）与抛物线的焦点距离是5，____________。

14．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。

三、解答题

15.已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N两点，且＝4，求双曲线方程。

16.过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，为右焦点。

求：

的最值

17.已知椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足，成等比数列。

（1）求椭圆的方程。

（2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？

若存在，求出的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。