完整版《平面向量》测试题及答案Word文档格式.docx
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1
）
9.设四边形ABCD中，有DC=
AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是（）
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=（6,-2）平移后得C′的解析式为（）
A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-10
11.将函数y=x
2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）
A.（2,-1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（2,1）
12.已知平行四边形的3个顶点为A（a,b）,B（-b,a）,C（0,0），则它的第4个顶点D的坐标是（）
A.（2a,b）B.（a-b,a+b）C.（a+b,b-a）D.（a-b,b-a）
二、填空题
13.设向量a=（2,-1），向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b=。
14.已知：
|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°
，要使λb-a垂直，则λ=。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·
b=。
16.在菱形ABCD中，（AB+AD）·
（AB-AD）=。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，
已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
18．设a＝（－1,1），b＝（4,3），c＝（5，－2），
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
（2）求c在a方向上的投影；
（3）求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.
19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°
，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°
，求点B的坐标和AB。
rr
已知|a|2|b|3
rurrur
⑴c∥d⑵cd
rrrrr
o
a与b的夹角为60,c5a3b
urrr
d3akb
当当实数k为何值时，
21.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，
且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。
文科数学[平面向量]单元练习题
1．（全国Ⅰ）设非零向量a、b、c、满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝（）
A．150B．120°
C．60°
D．30°
2．（四川高考）设平面向量a＝（3,5），b＝（－2,1），则a－2b等于（）
A．（7,3）B．（7,7）C．（1,7）D．（1,3）
→→→→→→
3．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD等于（）
A．a＋
bB.
131
a＋bC.a＋
444
bD.
a＋
b
4．（浙江）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c＝（）
9
B.－，－
77
，
39
5．（启东）已知向量p＝（2，x－1），q＝（x，－3），且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A?
{x|ax＝2}，
则实数a构成的集合是（）
A．{0}B．{
}C．?
D．{0，
}
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°
，△ABC的面积为
于（）
，则b等
1＋3
B．1＋3C.
2＋3
D．2＋3
7．（银川模拟）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°
灯塔B在观察站C的南偏东40°
，则灯塔A与B的距离为（）
A．2akmB．akmC.3akmD.2akm
→2→→→→→→
8．在△ABC中，若BC＝AB·
BC＋CB·
CA＋BC·
BA，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
9．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）
B.3C.
15
8
D.
→→→
10．已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足PA＋BP＋CP
λ的值为（）
＝0，设
→
|PA|
|PD|
＝λ，则
A．1B.
C．2D.
11．设向量a＝（1,2），b＝（2,3），若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，则λ________.
12．（皖南八校联考）已知向量a与b的夹角为120°
，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则
|a|
|b|
＝________.
13．已知向量a＝（tanα，1），b＝（3，1），α∈（0，π），且a∥b，则α的值为________．
14．（烟台模拟）轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°
，两船的航行
速度分别为25nmile/h、15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.
15．（江苏高考）满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
16．设a＝（－1,1），b＝（4,3），c＝（5，－2），
（2）求c在a方向上的投影；
17．如图，已知A（2,3），B（0,1），C（3,0），点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，
求点D的坐标．
18．（厦门模拟）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3,0）、B（0,3）、C（cosα，sinα），α∈
π
π.
→→
（1）若|AC|＝|BC|，求角α的值；
2sin→→
（2）若AC·
BC＝－1，求
1＋tanα
的值．
19．（南充模拟）在△ABC中，已知内角A＝
，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.
（1）求函数y＝f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状．
20．（福建高考）已知向量m＝（sinA，cosA），n＝（3，－1），m·
n＝1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）＝cos2x＋4cosAsinx（x∈R）的值域．
21．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（a
2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sinC.
（1）若a＝3，b＝4，求|CA＋CB|的值；
（2）若C＝
，△ABC的面积是3，求AB·
BC＋BC·
CA＋CA·
AB
参考答案
1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.A9.C10.B11.A12.C
13.（4,-2）14.215.±
1516.0
17.[解]连结AC
DC=
AB=
a,⋯⋯AC=AD+DC=b+
a,⋯⋯
BC=AC-AB=b+
a-a=b-
NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-
MN=-NM=a-b。
⋯⋯
18．【解析】
（1）∵a＝（－1,1），b＝（4,3），且－1×
3≠1×
4，∴a与b不共线．
又a·
b＝－1×
4＋1×
3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝
a·
|a||b|
＝
－1
＝－
52
.
10
（2）∵a·
c＝－1×
5＋1×
（－2）＝－7∴c在a方向上的投影为
（3）∵c＝λ1a＋λ2b，
c
－7
2.
∴（5，－2）＝λ1（－1,1）＋λ2（4,3）＝（4λ2－λ1，λ1＋3λ2），
∴
4λ2－λ1＝5
λ1＋3λ2＝－2
，解得
λ＝－
1
λ2＝
23
19.[解]∵a=2e1+e2,∴|a|1+e2）2=a2=（2e
2=a2=（2e
2=4e2+4e2=7,∴|a|=7。
12=4e2+4e2=7,∴|a|=7。
1·
e2+e2
22
同理得|b|=7。
b==（2e
1+e2）·
（-3e1+2e2,）=-6e1+e1·
e2+2e2=-
∴cosθ=
|
a|·
|b
=
|7
=-
∴θ=120°
.
20.[解]如图8，设B（x,y）,
5
则OB=（x,y）,AB=（x-4,y-2）。
∵∠B=90°
，∴OB⊥AB，∴x（x-4）+y（y-2）=0，即x
2+y2=4x+2y。
①
设OA的中点为C，则C（2,1）,OC=（2，1），CB=（x-2,y-1）
∵△ABO为等腰直角三角形，∴OC⊥CB，∴2（x-2）+y-1=0，即2x+y=5。
②
解得①、②得
x
y
或
∴B（1,3）或B（3,-1），从而AB=（-3,1）或AB=（-1,-3）
21.⑴若c∥d得
k⑵若cd得
k
29
14
22.[解]如图10，
S
△=
AMN
△ABC
AM
||
·
AN
|sin
AC|·
sin
BAC
AC
。
∵M分AB的比为3，∴
，则由题设条件得
，∴
=2。
由定比分点公式得
N
026
12
（
4,
4）
∴N（4,-）。
文科数学[平面向量]单元练习题
答案
1．B【解析】∵（a＋b）2＝c2，∴a·
b＝－
2＝c2，∴a·
6
cos〈a，b〉＝
，〈a，b〉＝120°
.故选B.
2．A【解析】a－2b＝（3,5）－2（－2,1）＝（7,3）．
3→→→→
3．B【解析】AD＝AB＋BD＝a＋BC
＝a＋
（AC－AB）＝a＋
313
（b－a）＝a＋b.
4．D【解析】设c＝（x，y），则c＋a＝（x＋1，y＋2），a＋b＝（3，－1）．
∵（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），
∴2（y＋2）＝－3（x＋1）,3x－y＝0.
∴x＝－
，y＝－
，故选D.
5．D【解析】∵p⊥q，∴2x－3（x－1）＝0，
即x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}?
A，
∴{x|ax＝2}＝?
或{x|ax＝2}＝{3}，
∴a＝0或a＝
∴实数a构成的集合为{0，
}．
6．B【解析】由acsin30°
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
2＝a2＋c2－2accosB
＝（a＋c）
即b
2－2ac－2accos30°
2＝4＋23，
得ac＝6，
∴b＝3＋1.
7．C【解析】如图，△ABC中，
AC＝BC＝a，∠ACB＝120°
由余弦定理，
222
得AB＝AC＋BC－2AC·
BCcos120°
＝a2＋a2－2a2×
（－
2＋a2－2a2×
）＝3a2，
2，
∴AB＝3a.
8．B【解析】∵AB·
BA
→→→→→→→
＝BC·
（AB＋BA）＋CB·
CA＝CB·
CA
→2→→→→→→→
∴BC－CB·
CA＝BC·
（BC＋CA）＝BC·
BA＝0，
∴∠B＝
，∴△ABC为直角三角形．
9．D【解析】设底边长为a，则腰长为2a，
4a72＋4a2－a
2＋4a2－a
∴cosA＝?
sinA＝
2×
2a×
2a8
∴tanA＝
15
10．C【解析】∵PA＋BP＋CP＝0，
→→→→→
即PA－PB＋CP＝0，即BA＋CP＝0，
故四边形PCAB是平行四边形，∴
＝2.
11．【解析】∵a＝（1,2），b＝（2,3），
∴λa＋b＝（λ，2λ）＋（2,3）＝（λ＋2,2λ＋3）．
∵向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，
∴－7（λ＋2）＋4（2λ＋3）＝0，∴λ＝2.
【答案】2
12．【解析】由题意知a·
b＝|a||b|cos120°
|a||b|.
又∵c⊥a，∴（a＋b）·
a＝0，
∴a
2＋a·
b＝0，
即|a|
2＝－a·
b＝
|a||b|，∴
【答案】
13．【解析】∵a∥b，∴tanα－3＝0，即tanα＝3，
又α∈（0，π），∴α＝
14.【解析】如图，由题意可得OA=50，OB=30.
而AB
2=OA2+OB2-2OA·
OBcos120°
=502+302-2×
50×
30×
（-
2+302-2×
=2500+900+1500=4900，∴AB=70.
【答案】70
15．【解析】设BC＝x，则AC＝2x，
根据面积公式得S△ABC＝
△ABC＝
AB·
BCsinB
×
2x1－cos
2B，
根据余弦定理得cosB＝
AB2＋BC2－AC2
2＋BC2－AC2
2AB·
BC
4＋x－（2x）
4x
4－x
代入上式得
S△ABC＝x1－（
2＝
128－（x2－12）
2－12）
16
2x＋x>
2由三角形三边关系有，
x＋2>
2x
解得22－2<
x<
22＋2.
故当x＝23时，S△ABC取得最大值22.
【答案】22
16．【解析】
（1）∵a＝（－1,1），b＝（4,3），且－1×
4，∴a与b不共线．
3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝
（－2）＝－7，
∴c在a方向上的投影为
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