正方形的性质与判定专题练习文档格式.docx
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选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,
现有下列四种选法，其中错误的是（
A.选①②B.选②③
10.如图，在正方形ABCD
那么/ANM等于（
11.如图，菱形ABCD
为边长的正方形ACEF
B.16
C.选①③D.选②④
中，CE=MN,/MCE=35°
中,
C.55°
/B=60
的面积为（
C.20
60°
AB=5,
则以AC
25
二.填空题（共5小题）
12.如图，在正方形ABCD的外侧,
作等边三角形ADE,
度.
贝U/AEB=
对角线互相垂直且相等
E
13.如图，已知P是正方形
ABCD对角线BD上一点,
且BP=BC，贝U/ACP度数是
14.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角
形.AC为正方形ABCD的对角线，则/EAC=
15.已知：
如图，菱形
ABCD中，/B=60°
AB=4，则
以AC为边长的正方形
ACEF的周长为
20.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,
16•如图所示，正方形
ABCD的周长为16cm,顺次连接
正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形
EFGH的周长等于
cm,四边形EFGH的面
积等于
cm.
£
__口
三.解答题（共6小题）
17.如图，正方形ABCD中,
E、F分别为BC、CD上的
点，且AE丄BF，垂足为点G.求证：
AE=BF.
18.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,
连接BP、DP,延长BC至UE，使PB=PE.求证:
连DE，BH，两线交于M.求证：
（1）BH=DE.
（2）BH丄DE.
21.已知：
如图，？
ABCD中，0是CD的中点，连接AO
并延长，交BC的延长线于点E.
（1）求证:
△AOD◎△EOC;
（2）连接AC,DE，当/B=/AEB=_
。
时，四边形ACED是正方形？
请说明理由.
22.（2014?
随州）已知：
如图，在矩形ABCD中，M、N
分别是边AD、BC
的中点.
（1）求证:
（2）填空：
当AB:
是正方形.
的中点，E、F分别是线段BM、CM
△ABMDCM;
AD=
时，四边形MENF
B
1.（2014?
南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,£
j），则点C的坐标为（）
•••点C的坐标为（-.「；
，1）.
故选：
A.
点本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性
评：
质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是
解题的关键，也是本题的难点.
考全等三角形的判定与性质；
坐标与图形性质；
正方形点：
的性质.
专几何图形问题.
题：
分过点A作AD丄x轴于D，过点C作CE丄x轴于E,
析：
根据同角的余角相等求出/OAD=/COE，再利用角角边”证明△AOD和厶OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD,CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可.
解解：
如图，过点A作AD丄x轴于D，过点C作CE丄x答：
轴于E,
•/四边形OABC是正方形，
•OA=OC,/AOC=90°
•/COE+/AOD=90°
又•//OAD+/AOD=90°
•/OAD=/COE,
在厶AOD和厶OCE中，
rZ0AD=ZC0E
«
ZADO=ZOEC=90°
b0A=0C
•△AOD◎△OCE（AAS）,
2.（2014?
山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线
AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、
EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长
为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）
A22B|1|2C52D42
•—aB.—aC.—aD•—a
349^
正方形的性质.
占：
八、、♦
分作EP丄BC于点P,EQ丄CD于点Q,
△EPM◎△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解.
作EP丄BC于点P,EQ丄CD于点Q,
答:
•OE=AD=-・，CE=OD=1,
△EPM◎△EQN.
3.（2014?
台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的
一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接
BE,FE,则/EBF的度数是（）
•••四边形ABCD是正方形,
•••/BCD=90°
又•//EPM=/EQN=90°
•/PEQ=90°
•/PEM+/MEQ=90°
•••三角形FEG是直角三角形，
•/NEF=/NEQ+/MEQ=90°
•/PEM=/NEQ,
•/AC是/BCD的角平分线，/EPC=/EQC=90°
•EP=EN，四边形MCQE是正方形，
在厶EPM和厶EQN中，
fZPEM=ZNEQ
，
IZEFM=ZEQN
•△EPM△EQN（ASA）•Saeqn=Saepm,
A.45°
B.50°
C.60°
D.不确定
分过E作HI//BC,分别交AB、CD于点H、丨，证明
Rt△BHE也Rt△EIF，可得/IEF+/HEB=90°
再根据BE=EF即可解题.
如图所示，过E作HI//BC,分别交AB、CD于
答：
点H、I，则/BHE=/EIF=90°
a，
•四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积,
•••正方形ABCD的边长为a,
•AC=.'
：
a,
•/EC=2AE,
EC=
A
D
I
H
v
■■■■■・■IM!
■
F
C
•EP=PC=^a,
•正方形
•四边形
MCQE
EMCN
的面积=
的面积
D.
~a，
点本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定
及性质，解题的关键是作出辅助线，证出
•/E是BF的垂直平分线EM上的点，
•EF=EB,
•••E是/BCD角平分线上一点，
•E到BC和CD的距离相等，即BH=EI,
Rt△BHE和Rt△EIF中，
fBF=EB
二DE'
•Rt△BHE也Rt△EIF（HL）,
D.16
•••/HBE=/IEF,
•//HBE+/HEB=90°
•/IEF+/HEB=90°
•/BEF=90°
•/BE=EF,
•/EBF=/EFB=45°
故选：
点本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考
查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等
4.（2014?
郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等
考正方形的性质；
平行四边形的性质；
菱形的性质；
矩点：
形的性质.
专证明题.
分本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具
有对角线相互平分的性质来判断.
A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正答：
方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.
点本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性
质定理.
5.（2014?
来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正
方形的面积是（）
考正方形的性质.
分根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算析：
即可得解.
解解：
•••正方形的一条对角线长为4,
•这个正方形的面积—MX4=8.
2
A.
点本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的评：
方法是解题的关键.
6.（2014?
福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边
三角形ADE,AC、BE相交于点F,贝U/BFC为（
B.55°
C.60°
D.75
等腰三角形的性质；
等边三角形的性
点：
质.
分根据正方形的性质及全等三角形的性质求出
/ABE=15°
/BAC=45°
再求/BFC.
•/四边形ABCD是正方形，
•AB=AD
又•/△ADE是等边三角形，
•AE=AD=DE,/DAE=60°
•AD=AE
•/ABE=/AEB,/BAE=90°
60°
150°
•/ABE=（180°
-150°
吃=15°
又•//BAC=45°
•/BFC=45°
+15°
=60°
c.
点本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，
本题的关键是求出/ABE=15°
7.（2014?
来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边
形是（）
A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形考正方形的判定；
三角形中位线定理；
菱形的性质.
分根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得.
•/E,F是中点，
•••EH//BD,
同理，EF//AC,GH//AC,FG//BD,
•EH//FG,EF//GH,
则四边形EFGH是平行四边形.
又•/AC丄BD,
•EF丄EH,
•平行四边形EFGH是矩形.
质以及三角形的中位线定理是解题的关键.
8（2014?
湘西州）下列说法中，正确的是（）
A.相等的角一定是对顶角
B.四个角都相等的四边形一定是正方形
C.平行四边形的对角线互相平分
考正方形的判定；
对顶角、邻补角；
点：
矩形的性质.
分根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性析：
质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.
A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分
线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正
方形，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正
确；
D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选
项错误.
点本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形评：
的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键.
9.（2014?
株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，再从
1AB=BC，②/ABC=90°
③AC=BD，④AC丄BD四
个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD
是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④
考正方形的判定；
平行四边形的性质.
分要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.
A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以
平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符
合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由
③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由
3得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由
4得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.
B.
点本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻
边相等；
2先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角
为直角.
3还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2
进行判定.
10.（2014?
红桥区三模）如图，在正方形ABCD中，
CE=MN,/MCE=35°
那么/ANM等于（）
J亞
1>
8
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
分过B作BF//MN交AD于F,则/AFB=/ANM,根
据正方形的性质得出/A=/EBC=90°
AB=BC,
AD//BC,推出四边形BFNM是平行四边形，得出
BF=MN=CE，证Rt△ABF也RtABCE，推出/AFB=/ECB即可.
解
解：
过B作BF//MN交AD于F,
贝U/AFB=/ANM,
•••四边形ABCD是正方形，
•••/A=/EBC=90°
AB=BC,AD//BC,
•••FN//BM,BE//MN,
•四边形BFNM是平行四边形，
•BF=MN,
•/CE=MN,
•CE=BF,
在Rt△ABF和Rt△BCE中
lAB-BC
•Rt△ABF也Rt△BCE（HL）,
•/AFB=/ECB=35°
•/ANM=/AFB=55°
故选C.
点本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的
性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力.
11.（2014?
四会市一模）如图，菱形ABCD中，/B=60°
AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（）
A.9B.16C.20D.25
考菱形的性质；
分据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到
AC=AB，从而求出正方形ACEF的边长，进而可求
出其面积.
•/B=60°
•••△ABC是等边三角形，
/•AC=AB=5,
•正方形ACEF的边长为5,
•正方形ACEF的面积为25,
故选D.
点本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此
类题意含有60。
角的题目一般要考虑等边三角形的应
用.
二•填空题（共5小题）
12.（2009?
江西模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，
作等边三角形ADE，则/AEB=15度.
等边三角形的性质.
分由等边三角形的性质可得/DAE=60°
进而可得
/BAE=150°
又因为AB=AE，结合等腰三角形的性质，易得/AEB的大小.
△ADE是等边三角形；
故/DAE=60°
/BAE=90°
=150°
又有AB=AE，
故/AEB=30。
吃=15°
故答案为15°
点主要考查了正方形基本性质：
①两组对边分别平行；
四条边都相等；
相邻边互相垂直；
②四个角都是90°
③对角线互相垂直；
对角线相等且互相平分；
每条
对角线平分一组对角.
13.（2008?
佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线
BD上一点，且BP=BC，贝U/ACP度数是22.5度.
丿
专计算题.
分根据正方形的性质可得到/DBC=/BCA=45。
又知
BP=BC，从而可求得/BCP的度数，从而就可求得
/ACP的度数.
•/ABCD是正方形，
•/DBC=/BCA=45°
•/BP=BC，
•/BCP=/BPC气（180°
-45°
=67.5°
•/ACP度数是67.5°
-45°
22.5°
点此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平
分每一组对角.
14.（2007?
吉林）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则/EAC=
105度.
分因为正方形的对角线互相平分，且每个内角是90°
故/CAD=45°
又因为等边三角形三个角相等，均为
所以
/DAE=60°
/EAC=/CAD+/DAE=60°
=105°
.
•••△ADE为等边三角形，
•••/EAD=60°
•••四边形ABCD为正方形，
•/DAC=45°
•/EAC=/EAD+/DAC=105°
故答案为：
105.
点解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方评：
形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方
形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和
准确率.
15.（2006?
昆明）已知：
如图，菱形ABCD中，/B=60°
分根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到
AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可.
AB=BC
•△ABC是等边三角形
•AC=AB=4
•正方形ACEF的周长=4>
4=16.
16故答案为16.
点本题考查菱形与正方形的性质.
16.（2005?
常州）如图所示，正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于扳-cm，四边形EFGH的面积等于8cm.
三角形中位线定理.
分根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据
中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周
长及面积.
正方形ABCD的周长为16cm,则它的边长为4,答：
对角线是4芒，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为血，所以四边形EFGH的周长等于鉅.由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于&
算，中位线性质是本题的关键.
17.（2014?
泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为
BC、CD上的点，且AE丄BF，垂足为点G.
求证：
点本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形
的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角
形的判定与性质.
18.（2014?
广安）如图，在正方形ABCD中，P是对角线
AC上的一点，连接BP、DP,延长BC到E，使PB=PE.求证：
/PDC=/PEC.
考
全等三角形的判定与性质；
专
证明题.
题:
分
根据正方形的性质，可得
/ABC与/C的关系，AB
析:
与BC的关系，根据两直线垂直，可得/AGB的度
数，根据直角三角形锐角的关系，可得/ABG与
/BAG的关系，根据同角的余角相等，可得/BAG与/CBF的关系，根据ASA，可得△ABE◎△BCF,根据全等三角形的性质，可得答案.
解证明：
•/正方形ABCD,
•/ABC=/C,AB=BC.
•/AE丄BF,
•/AGB=/BAG+/ABG=90°
•//ABG+/CBF=90°
•/BAG=/CBF.
在厶ABE和厶BCF中，
rZBAE^ZCBF
<
AB=CB,
ZABE=ZBCF
•△ABE◎△BCF（ASA）,
分根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平
分一组对角可得/BCP=/DCP，再利用边角边”证明△BCP和厶DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得/PDC=/PBC，再根据等边对等角可得
/PBC=/PEC，从而得证.
解证明：
在正方形ABCD中，BC=CD,/BCP=/DCP,答：
在厶BCP和厶DCP中，
[
BC=CB
ZBCP=ZDCP,
PC二PC
•△BCP◎△DCP（SAS）,
•/PDC=/PBC,
•/PB=PE,
•/PBC=/PEC,
•/PDC=/PEC.
质，等
升级会员 