正方形的性质与判定专题练习文档格式.docx

1、选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD是正方形,现有下列四种选法，其中错误的是（A .选 B .选10.如图，在正方形 ABCD那么/ ANM等于（11.如图，菱形ABCD为边长的正方形ACEFB. 16C .选 D .选中，CE=MN , / MCE=35 中,C . 55/ B=60的面积为（C. 2060,AB=5 ,则以AC25二.填空题（共 5小题）12.如图，在正方形 ABCD的外侧,作等边三角形ADE ,度.贝U / AEB=对角线互相垂直且相等E13.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC，贝U / ACP度数是14.如图，四边形 ABCD为正方形， A

2、DE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则/ EAC=15.已知：如图，菱形ABCD 中，/ B=60 AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为20.在平面内正方形 ABCD与正方形 CEFH如图放置,16如图所示，正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于cm,四边形EFGH的面积等于cm._口三.解答题（共6小题）17.如图，正方形 ABCD 中,E、F分别为BC、CD上的点，且AE丄BF，垂足为点 G.求证：AE=BF .18.如图，在正方形 ABCD中，P是对角线 AC上的一点,连接BP、DP,延长B

3、C至U E，使PB=PE .求证:连DE，BH，两线交于 M .求证：（1）BH=DE .（2） BH 丄 DE .21.已知：如图，？ABCD中，0是CD的中点，连接 AO并延长，交BC的延长线于点E . （1）求证: AOD EOC ; （2）连接 AC , DE，当/ B= / AEB= _。时，四边形ACED是正方形？请说明理由.22. （2014?随州）已知：如图，在矩形 ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点.（1）求证:（2）填空：当AB :是正方形.的中点，E、F分别是线段BM、CM ABM DCM ;AD=时，四边形MENFB1. （2014?南充）如图，将正方形 OAB

4、C放在平面直角坐 标系中，O是原点，A的坐标为（1, j），则点C的坐 标为（ ）点C的坐标为（-.；，1）.故选：A.点本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性评：质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.考 全等三角形的判定与性质； 坐标与图形性质；正方形 点：的性质.专几何图形问题.题：分 过点A作AD丄x轴于D，过点C作CE丄x轴于E,析：根据同角的余角相等求出 / OAD= / COE，再利用 角角边”证明 AOD和厶OCE全等，根据全等三角 形对应边相等可得 OE=AD , CE=OD，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可.解 解：如图，过点A作

5、AD丄x轴于D，过点C作CE丄x 答：轴于E,/四边形OABC是正方形， OA=OC , / AOC=90 / COE+ / AOD=90 又/ / OAD+ / AOD=90 / OAD= / COE ,在厶AOD和厶OCE中，rZ0AD=ZC0E ZADO=ZOEC=90 ,b0A=0C AOD OCE （AAS ）,2 . （2014?山西）如图，点 E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE ,直角三角形 FEG的两直角边 EF、EG分别交BC、DC于点M、N .若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形 EMCN的面积为（ ）A 2 2 B |1| 2 C 5 2 D 4 2

6、 a B. a C. a D a3 4 9 正方形的性质.占：八、分 作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q , EPM EQN ,利用四边形 EMCN的面积等于正 方形MCQE的面积求解.作EP丄BC于点P , EQ丄CD于点Q ,答: OE=AD=-，CE=OD=1 , EPM EQN .3. （2014?台州）如图，F是正方形 ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线 AC于点E,连接BE , FE,则/ EBF的度数是（ ）四边形ABCD是正方形, / BCD=90 又/ / EPM= / EQN=90 / PEQ=90 / PEM+ / MEQ=90 三角形FEG是直角

7、三角形， / NEF= / NEQ+ / MEQ=90 / PEM= / NEQ ,/ AC 是/ BCD 的角平分线， / EPC= / EQC=90 EP=EN，四边形MCQE是正方形，在厶EPM和厶EQN中，f ZPEM=ZNEQ，I ZEFM=ZEQN EPM EQN （ASA ） Sa eqn=Saepm ,A . 45 B . 50 C . 60 D .不确定分 过E作HI / BC,分别交AB、CD于点H、丨，证明Rt BHE 也 Rt EIF，可得/ IEF+ / HEB=90 再根 据BE=EF即可解题.如图所示，过 E作HI / BC ,分别交AB、CD于答：点 H、I，则

8、/ BHE= / EIF=90 ,a，四边形EMCN的面积等于正方形 MCQE的面积,正方形ABCD的边长为a, AC= . ：a,/ EC=2AE ,EC=ADIHv IM! FC EP=PC=a,正方形四边形MCQEEMCN的面积=的面积D.a，点 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出/ E是BF的垂直平分线 EM上的点， EF=EB, E是/ BCD角平分线上一点， E到BC和CD的距离相等，即 BH=EI ,Rt BHE 和 Rt EIF 中，fBF=EB二 DE Rt BHE 也 Rt EIF （ HL ）,D. 16 / HBE= / I

9、EF ,/ / HBE+ / HEB=90 / IEF+ / HEB=90 / BEF=90 / BE=EF , / EBF= / EFB=45 故选：点本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质， 考查了直角三角形全等的判定， 全等三角形对应角相等4. （2014?郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具 有的是（ ）A. 对角线互相平分 B .对角线互相垂直C.对角线相等 D .对角线互相垂直且相等考 正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质； 矩 点：形的性质.专证明题.分 本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、 正方形都具有对角线相互平分的性质来判断.A、对角线相等是平行四边形、矩形、

10、菱形、正 答：方形都具有的性质；B、 对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C、 对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D、 对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.点 本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、 正方形的性质定理.5. （2014?来宾）正方形的一条对角线长为 4，则这个正方形的面积是（ ）考正方形的性质.分根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算 析：即可得解.解解：正方形的一条对角线长为 4,这个正方形的面积 MX4=8 .2A .点本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的 评：方法是解题的关键.6. （2014?福州）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形AD

11、E , AC、BE相交于点F,贝U / BFC为（ B. 55 C. 60 D. 75等腰三角形的性质；等边三角形的性点：质.分根据正方形的性质及全等三角形的性质求出/ ABE=15 / BAC=45 再求 / BFC ./四边形ABCD是正方形， AB=AD又/ ADE是等边三角形， AE=AD=DE , / DAE=60 AD=AE / ABE= / AEB , / BAE=90 60 150 / ABE= （180 - 150 吃=15 又/ / BAC=45 / BFC=45 +15=60c.点本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出 / ABE=15 7. （2

12、014?来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）A. 等腰梯形B.矩形 C.菱形 D.正方形 考 正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质.分 根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得./ E, F是中点， EH / BD ,同理，EF / AC , GH / AC , FG / BD , EH / FG, EF / GH ,则四边形EFGH是平行四边形.又/ AC 丄 BD , EF 丄 EH ,平行四边形EFGH是矩形.质以及三角形的中位线定理是解题的关键.8 （2014?湘西州）下列说法中，正确的是（ ）A. 相等的角一定是对顶角B. 四个角都相等的四边形一定是正方形C

13、.平行四边形的对角线互相平分考 正方形的判定；对顶角、邻补角； 点：矩形的性质.分 根据对顶角的定义， 正方形的判定，平行四边形的性 析：质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、 四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、 平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、 矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误.点本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形 评：的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解 题的关键.9. （2014?株洲）已知四边形 A

14、BCD是平行四边形，再从1 AB=BC， / ABC=90 AC=BD， AC 丄 BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A .选 B .选 C .选 D .选考正方形的判定；平行四边形的性质.分 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、 由得有一个角是直角的平行四边形是矩形， 由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得 出平行四边形 ABCD是正方形，错误，故本选项符 合题意

15、；C、 由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 由3 得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四 边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、 由得有一个角是直角的平行四边形是矩形， 由4 得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平 行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合 题意.B.点本题考查了正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；2 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角.3 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1或2进行判定.10. （2014?红桥区三模）如图，在正方形 ABCD中，CE=MN , / MCE=35 那么 / A

16、NM 等于（ ）J 亞18A. 45 B. 50 C. 55 D. 60分 过B作BF / MN交AD于F,则/ AFB= / ANM ,根据正方形的性质得出 / A= / EBC=90 AB=BC ,AD / BC,推出四边形 BFNM是平行四边形，得出BF=MN=CE，证 Rt ABF 也 RtA BCE，推出 / AFB= / ECB 即可.解解：过B作BF / MN交AD于F,贝U / AFB= / ANM ,四边形ABCD是正方形， / A= / EBC=90 AB=BC , AD / BC, FN / BM , BE / MN ,四边形BFNM是平行四边形， BF=MN ,/ CE

17、=MN , CE=BF,在 Rt ABF 和 Rt BCE 中lAB-BC Rt ABF 也 Rt BCE （ HL ）, / AFB= / ECB=35 / ANM= / AFB=55 故选C.点 本题考查了平行四边形的性质和判定， 全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用， 主要考查学生的 推理能力.11. （2014?四会市一模）如图，菱形ABCD中，/ B=60 AB=5，则以AC为边长的正方形 ACEF的面积为（ ）A. 9 B. 16 C. 20 D. 25考 菱形的性质；分据已知可求得 ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，从而求出正方形 ACEF的边长，进而可求出其面积./

18、 B=60 ABC是等边三角形，/ AC=AB=5 ,正方形ACEF的边长为5,正方形ACEF的面积为25,故选D.点 本题考查菱形与正方形的性质， 属于基础题，对于此类题意含有60。角的题目一般要考虑等边三角形的应用.二填空题（共5小题）12. （2009?江西模拟）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，则/ AEB= 15 度.等边三角形的性质.分 由等边三角形的性质可得 / DAE=60 进而可得/ BAE=150 又因为AB=AE，结合等腰三角形的性 质，易得/ AEB的大小. ADE是等边三角形；故 / DAE=60 / BAE=90 =150又有AB=AE，故/ A

19、EB=30。吃=15 故答案为15点 主要考查了正方形基本性质： 两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；四个角都是90对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角.13. （2008?佛山）如图，已知 P是正方形 ABCD对角线BD上一点，且 BP=BC，贝U / ACP度数是 22.5 度.丿 专计算题.分 根据正方形的性质可得到 / DBC= / BCA=45。又知BP=BC，从而可求得/ BCP的度数，从而就可求得/ ACP的度数./ ABCD是正方形， / DBC= / BCA=45 / BP=BC， / BCP= / BPC气（180 - 45 =67.5

20、/ ACP 度数是 67.5- 45 22.5 点 此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质， 平分每一组对角.14. （2007?吉林）如图，四边形ABCD为正方形， ADE 为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则/ EAC=105 度.分因为正方形的对角线互相平分，且每个内角是 90故/CAD=45 又因为等边三角形三个角相等， 均为所以/ DAE=60 / EAC= / CAD+ / DAE=60 =105. ADE为等边三角形， / EAD=60 四边形ABCD为正方形， / DAC=45 / EAC= / EAD+ / DAC=105 故答案为：105.点解答本题要充分利用

21、正方形的特殊性质. 注意在正方 评：形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、 菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率.15. （2006?昆明）已知：如图，菱形ABCD中，/ B=60 分根据已知可求得 ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可. AB=BC ABC是等边三角形 AC=AB=4正方形ACEF的周长=4 4=16.16故答案为16.点 本题考查菱形与正方形的性质.16. （ 2005?常州）如图所示，正方形ABCD的周长为16cm , 顺次连接正方形 ABCD各边的中点，得到四边形 EFGH , 则四边形EFGH的周长等于 扳-c

22、m，四边形EFGH 的面积等于 8 cm.三角形中位线定理.分 根据已知可求得 ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到 EFGH的边长，从而可求得其周长及面积.正方形ABCD的周长为16cm,则它的边长为4, 答：对角线是4芒，顺次连接正方形 ABCD各边的中点， 得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形 EFGH的边长为血，所以四边形 EFGH的周长等 于鉅.由正方形的定义可知四边形 EFGH是正方 形，所以面积等于 &算，中位线性质是本题的关键.17. （2014?泸州）如图，正方形 ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且 AE丄BF，垂足为点 G.求证：点 本题考

23、查了全等三角形的判定与性质， 利用了正方形的性质，直角三角形的性质， 余角的性质，全等三角形的判定与性质.18. （2014?广安）如图，在正方形 ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP,延长BC到E，使PB=PE .求 证：/ PDC= / PEC.考全等三角形的判定与性质；专证明题.题:分根据正方形的性质，可得/ ABC与/ C的关系，AB析:与BC的关系，根据两直线垂直，可得 / AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得 /ABG与/ BAG的关系，根据同角的余角相等，可得 / BAG 与/ CBF的关系，根据 ASA，可得 ABE BCF, 根据全等三角形的性质，可得答

24、案.解证明：/正方形ABCD , / ABC= / C, AB=BC ./ AE 丄 BF, / AGB= / BAG+ / ABG=90 / / ABG+ / CBF=90 / BAG= / CBF.在厶ABE和厶BCF中，r ZBAEZCBF AB=CB ,ZABE=ZBCF ABE BCF （ASA ）,分根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD，对角线平分一组对角可得 / BCP= / DCP，再利用 边角边”证 明 BCP和厶DCP全等，根据全等三角形对应角相 等可得/ PDC= / PBC，再根据等边对等角可得/ PBC= / PEC，从而得证.解 证明：在正方形 ABCD中，BC=CD , / BCP= / DCP, 答：在厶BCP和厶DCP中，BC=CBZBCP=ZDCP ,PC 二 PC BCP DCP （ SAS）, / PDC= / PBC,/ PB=PE, / PBC= / PEC, / PDC= / PEC.质，等