图形的分割与拼接.docx
《图形的分割与拼接.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《图形的分割与拼接.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
图形的分割与拼接
课题：
图形的分割与拼接
【专题知识点概述】
本讲中的知识点比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法:
1理解掌握图形的分割;
2、理解掌握图形的拼合;
3、理解图形的剪拼；
4、利用剪拼图形计算、解决问题图形的分割与拼接的概念
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，贝U叫做图形的剪拼.
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多.
图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形.
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的.
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.
【例1】（难度等级※丿
但要保持每个小方格的
右图是一个3X4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,
完整.
【分析与解】
因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同•方格纸一共有3X4=12（个）小格，所以
分成的两块每块有12+2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的
对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示•
【例2］（难度等级※※^
右图是一个4X4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的
两块每块有16+2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，
从中心点的一侧入手染色，逐步推进，建议同时呈现六幅空的4X4格图，不同的变化在不同的图上同时
呈现，如下图所示
【例3］（难度等级※※※丿
4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字
请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的
中的一个，该怎么剪？
【分析与解】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间
划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6X4的，所以分割
后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，
对称分成如下图
【例4】（难度等级※※※丿
学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将右图分成形状和大小都
相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字•应怎样分
思
学
思
考
考
学
习
习
思
思
习
学
考
学
【分析与解】
看到这道题目，首先想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成,
它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围.根据原题中各个字的具体位
置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图
（2）与原题右下角2X2的正方形重叠，其中“考”
字出现了两次，不符合题意，因此，图
（2）可以先排除掉.现在，再固定某一角上的一个小正方形，按
其中的字来考虑.如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：
【分析与解］
这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯
形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成
要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图
如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分
【例6］（难度等级探※※※）
（除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形
【分析与解］
其次要保证分得的两部分形状相同,
要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同,
从面积入手进行分割会使问题更容易解决•第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两
块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同
样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以
考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6
个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个
大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图.
【例7］（难度等级※※※丿
F图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形.
【分析与解］
通过计算，18+6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式:
是由6结合染色法，如下图
2
2
4
4
1
2
3
5
4
6
1
1
3
3
5
5
6
6
【例8］（难度等级※※※丿
把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？
作出分出的小图形.
【分析与解］
\
n
r
匚
L
总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图
【例9］（难度等级※※丿
用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？
若能，画出示意图.
【分析与解］
能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行
四边形五种图形•建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等
腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示.
【例10］（难度等级※※※丿
F面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形?
【分析与解】
用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够
拼成一个大正方形•其实用图
（1）、图
（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图.
【例11］（难度等级※※丿
的图形，形状只有
将方格纸剪成面积是4
用图形
（1）、
（2）和⑹也能拼成边长为4的正方形（如右下图所示）.
通过观察与试验，无法用所给图中的（3）和（4）拼成题目要求的正方形.因此，用所给图中的七种图形,共可以拼成5种面积是16的正方形.
【例12］（难度等级探※）
【分析与解】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角
顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形•若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角
形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心
正八角星.
【例13］（难度等级※※※丿
将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.
【分析与解］
经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小
正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍•现在来考
虑形状•由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中
间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个如图1，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大
小都相同的图形即可•下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法.如果把上图中每个小正方形的边长
看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3;显然，要把它分成完全一样的两个图
形，每个图形的最长边只能为3，如图2;用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个
图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右下图.
【例14］（难度等级探※）
试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形.
【分析与解］
要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种•组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行
四边形、梯形分成大小相等的三角形•如图
【例15］（难度等级※※※丿
试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形.
【分析与解］
（方法一）三角形与长方形的不同在于：
角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加
一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点,
这样才能拼出一个长方形，如左下图.
（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，
作三角形的中位线，旋转180。
即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图
【例16］（难度等级※※※丿
试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形.
【分析与解］
（方法一）我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形
的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，如左下图
（方法二）在长方形两边割三角形，向上旋转180°，即可拼成三角形，如右下图•
图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后,右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移使宽为4）,向左平移2（原来长为6，向左平移使长
为4）。
如下图.
【例18］（难度等级※※※丿
如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD的面积
是多少平方厘米?
【分析与解】取AB、CDAE的中点，BC的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是
等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米,
可以看出长方形ABCD的面积等于：
7X4+10X2=48（平方厘米）
【例19］（难度等级※※※※丿
如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形.
【分析与解］
因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成
20个长4厘米，宽3厘米的小长方形.因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形.可以沿对角线的方向，
把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形.
具体操作中可按下图中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如
升级会员 