初中数学几何经典模型.docx

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初中数学几何经典模型

初中数学几何模型

【模型1】倍长

1、倍长中线;2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

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【模型2】遇多个中点,构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点,连接GC、GE．

（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4，求GE的长；

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；

（3）如图3,当点F在CB的延长线上时,

（2）问中关系还成立吗?

写出你的猜想,并给予证明。

【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，．

（1）求证:

CE=CF；

（2）若，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：

DG上GE．

【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别为BC、AD中点,BA交EF延长线于G,CD交EF于H．求证：

∠BGE=∠CHE．

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

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【例4】如图,平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E,EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3,EH=3AE，则GF的长为.

【条件】

【结论】

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【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上,且DE=2CE，过点C作CF⊥BE,垂足为F，连接OF，则OF的长为　。

【例6】如图,中,，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE于F，交BC于点G，求

【例7】如图，在边长为的正方形ABCD中，E是AB边上一点,G是AD延长线上一点，BE＝DG,连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F,连接CE、BH.若BH＝8，则FG＝

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，

【结论】AC平分

【模型2】

【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,

【结论】

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【例8】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5,G为CD中点,DE=DG，FG⊥BE于F，则DF为。

【例9】如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M，使BM=1,连接AM，过点B作，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为.

【例10】如图，正方形ABCD的面积为64，是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G,则DG的长为。

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中,AB=AD,,

【结论】

【模型2】

【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.

【结论】

（1）BE+DF=EF；

（2）S△ABE+S△ADF=S△AEF;（3）AH=AB；（4）C△ECF=2AB；

（5）BM2+DN2=MN2;

（6）△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM；

（由AO：

AH=AO：

AB=1:

可得到△ANM和△AEF的相似比为1：

）；

（7）S△AMN=S四边形MNFE;（8）△AOM∽△ADF，△AON∽△ABE;

（9）△AEN为等腰直角三角形,∠AEN=45°；△AFM为等腰直角三角形，∠AFM=45°.

（1。

∠EAF=45°；2.AE：

AN=1：

）；

（10）A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆。

【模型2变型】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF=45°

【结论】BE+EF=DF

【模型2变型】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF=45°

【结论】DF+EF=BE

【例11】如图，和是两个全等的等腰直角三角形,，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．若AQ=12，BP=3，则PG=.

【例12】如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF.连接BF与DE交于点G，连接CG与BD交于点H，若CG=1，则.

【条件】

【结论】

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【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3，GC=4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为。

【两点之间线段最短】

1、将军饮马

2、费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

【例16】

如图，矩形是一个长为1000米，宽为600米的货场，、是入口．现拟在货场内建一个收费站，在铁路线段上建一个发货站台，设铺设公路、以及之长度和为．求的最小值．

【例17】

如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是。

【例18】

如图所示,在矩形ABCD中，，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，沿直线EF翻折到，连接,最短为.

《三垂直模型》

课后练习题

【练习1】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，,、交于。

已知、的长分别为3cm、5cm，求三角形的面积．

【练习2】

问题1:

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系?

请直接写出你的猜想；

问题2：

如图2，在四边形ABCD中,AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明.

【练习3】已知：

如图1,正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

⑴求证：

EG=CG且EG⊥CG；

⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示,取DF中点G,连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明;若不成立,请说明理由．

⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示,再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？