初中数学同步讲义 9年级 第67讲垂径定理学生版.docx

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初中数学同步讲义9年级第67讲垂径定理学生版

垂径定理

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1.掌握垂径定理中相关的概念；

2.掌握垂径定理的推理、应用.

1．弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做______。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.圆的性质：

（1）旋转不变性：

圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

（2）轴对称：

圆是____________，____________________是它的对称轴．

3.垂径定理及推论：

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且____________________．

（2）平分弦（__________）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

（5）_________夹的弧相等．

1.垂径定理的基本概念

【例1】（2014浙江绍兴中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）

A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.∠AOC=60°

【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。

【答案】B

练习1.（2014四川梅州一模）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）

A.是正方形B.是长方形C.是菱形D.以上答案都不对

练习2.（2014甘肃天水一中期末）下面四个判断中正确的是（）

A.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦

B.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦

C.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦

D.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦

2.垂径定理的简单计算

【例2】（2014江苏徐州一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）

A.10B.8C.5D.3

【解析】根据垂径定理，可求CP的长度，根据勾股定理可求半径。

【答案】C

练习3.（2014四川泸州一模）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）

A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm

练习4.（2014浙江绍兴一模）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：

1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：

1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（A）

A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确、乙错误D.甲错误，乙正确

3.垂径定理的几何应用

【例3】（2014河北邯郸一中期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

【解析】根据垂径定理，过O作OG⊥CD与G，可求弦心距为6，根据梯形中位线的性质定理可求距离之和为2倍的弦心距，可得距离之和。

【答案】解：

作OG⊥EF，连接OD，

∴G为CD中点，又CD=8cm，

则DG=CD=4cm．

又AB=10cm，∴OD=AB=5cm，

所以OG==3cm．

根据梯形中位线定理，得A、B两点到直线CD的距离之和为3×2=6（cm）．

故选D．

练习5．（2014辽宁锦州一模）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是_________cm．

练习6.（2014广东佛山一中期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

4.垂径定理的实际应用

【例4】银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？

【解析】把问题简化为圆的垂径定理的求解问题，设半径为r，根据勾股定理苛求半径。

【答案】

练习7．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

练习8．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？

如果行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？

（结果保留根号）

5.垂径定理与动点问题

【例5】（2015福建三明一模）如图，在半径是4的⊙O中，点Q为优弧的中点，圆心角∠MON=60°，点P在（M点除外）上运动，设点P到弦MN的距离为x，△OMN的面积是S．

（1）求弦MN的长；

（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S的大小关系．

【解析】根据已知条件可得△MON是等边三角形，所以MN的长度等于半径；阴影部分为一个钝角三角形，面积为底乘高的积的一半，底为MN，高为x，可求阴影部分面积。

自变量x的取值范围是从O到等边三角形的高加半径的长度，即可求出x的取值范围；S可求，令y=S可求出临界范围，之后即可判断大小。

【答案】解：

（1）∵OM=ON，∠MON=60°

∴△MON是等边三角形

∴MN=ON=4

（2）作OH⊥MN于H点，∴MH=MN=2

y=S△PMN=4x，即y=2x

在Rt△OHM中，OH2=OM2﹣MH2

∴OH=2

∴0＜x≤4+2

（3）△OMN的面积S=4

令y=s，即2x=4

∴x=2

当x=2时，y=s

当0＜x＜2时，y＜s

当2时，y＞s．

练习9．（2014福建宁德一模）如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到BC的距离为4cm．

（1）求弦BC的长；

（2）问经过几秒后△BPC是等腰三角形？

练习10.如图2，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心作⊙A，⊙A与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E，且C点坐标为（，0）．求线段DE的长．

【例6】（2014徐州市中考题）如图1，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的取值范围是（）

图1

A.B.

C.D.

【解析】如果题中含有圆心和弦，一般过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一性质证题。

此题主要是垂径定理的考查，OM在半径和弦心距之间，利用垂径定理求出弦心距即可。

【答案】解：

过O点作OC⊥AB于C，则。

联结OA，则，在Rt△AOC中，，因为M是弦AB上的动点，所以，即，故选A。

练习11.（2014内蒙古呼伦贝尔一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

练习12.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm．则OM的长为（）

A.cmB.cmC.2cmD.3cm

1．下列命题中正确的是（）

A．平分弦的直径垂直于这条弦;B．切线垂直于圆的半径

C．三角形的外心到三角形三边的距离相等;D．圆内接平行四边形是矩形

2.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长是3，则弦AB的长是（）

A．4B.6C.7D.8

3.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E。

若______,则CE=DE（只须填上一个适合的条件即可）。

4.在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若AB⊥CD于E，且AE=2，EB=8，则CD=__________．

5．如图，AB是⊙O的直径，AB=2,OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，点P是半径OC上一个动点，那么AP＋DP的最小值等于.

6.半径为10cm的圆内有两条平行弦，长度分别为12cm.16cm，则这两条平所弦间的距离为_______cm。

7．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是

厘米

8．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个

隧道所在圆的半径OA是___________米

9．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为cm

10．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为

11．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

12．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长

13.如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB

14．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长

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1.如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）

A．4B．6C．7D．8

2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）

A．9cmB．6cmC．3cmD．

4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个