部编版学年高中物理第1章机械振动第3节单摆教学案鲁科版选修Word文档格式.docx

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。

2．单摆做简谐运动的条件

判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F＝－kx的特点，如图131所示。

图131

（1）在任意位置P，有向线段

为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力。

（2）在摆角很小时，sinθ≈θ＝

，G1＝Gsinθ＝

x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－

令k＝

，则F回＝－kx。

因此，在摆角θ不超过5°

时，单摆做简谐运动。

3．单摆的运动特点

（1）摆球以悬挂点（O′点）为圆心在竖直平面内做变速圆周运动。

（2）摆球以最低点（O点）为平衡位置做简谐运动。

[特别提醒]

（1）单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力，当然向心力也不是摆球所受的合外力（最高、最低点除外）。

（2）摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）

关于单摆，下列说法中正确的是（　　）

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

解析：

选A　单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；

当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）；

另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，回复力才成正比。

单摆的周期

1．实验探究单摆的周期

（1）探究方法：

用控制变量法分别研究可能会影响单摆周期的因素：

摆球的质量、摆长和振幅、重力加速度。

（2）实验结论

①单摆周期与摆球质量无关。

②单摆周期与振幅无关。

③单摆的摆长越长，周期越大；

摆长越短，周期越小。

2．周期公式

（1）公式：

T＝2π

（2）单摆的等时性：

单摆的周期与振幅无关。

1．如何确定“单摆模型”中的摆长？

（1）图132（a）中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsinα，这就是等效摆长，其周期T＝2π

图（b）中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；

乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效。

图132

（2）如图（c）所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度（θ很小）的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π

（3）圆锥摆

如图133所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，而是匀速圆周运动，周期T＝2π

图133

2．公式中重力加速度g的变化与等效

（1）若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝

，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。

（2）等效重力加速度：

若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图134所示，球静止在O时，FT＝mgsinθ，等效加速度g′＝

＝gsinθ。

图134

将秒摆（周期为2s）的周期变为1s，下列措施可行的是（　　）

A．将摆球的质量减半　　　B．将振幅减半

C．将摆长减半D．将摆长减为原来的

选D　由单摆的周期公式T＝2π

可以看出，要使周期减半，摆长应为原来的

，摆球的质量和振幅变化，并不影响单摆的周期，故只有D正确。

利用单摆测定重力加速度

1.实验原理

由T＝2π

，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。

2．实验步骤

（1）做单摆

①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结。

②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

（2）测摆长

用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；

用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；

则l＝l′＋

，即为单摆的摆长。

（3）测周期

将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°

，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。

计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。

（4）变摆长

将单摆的摆长变短（或变长），重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。

3．数据处理

（1）平均值法：

每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝

中求出g值，最后求出g的平均值。

实验

次数

摆长

l/m

周期T/s

加速度g/m·

s－2

g平均值

1

g＝

2

3

（2）图像法：

得T2＝

l作出T2－l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝

，由图像的斜率即可求出重力加速度g。

图135

4．注意事项

（1）选材

摆线应选择细、轻且不易伸长的线（长度为1m左右）；

小球应选用密度较大的金属球，直径应较小（最好不超过2cm）。

（2）操作

单摆悬线的上端应当固定牢固，不可随意卷在铁架台的横杆上，以免振动时摆长改变；

注意振动时控制摆线偏离竖直方向的角度不超过5°

；

摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

（3）周期的测量

用停表测出单摆做n（30～50）次全振动所用的时间t，则周期T＝

测量时应以摆球通过最低位置时开始计时、计数，并且开始计时时数“零”，以后摆球每从同一方向通过最低位置时计数一次。

在用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法正确的是（　　）

A．如果有大小相同的铁球和木球可供选择，则选用木球作为摆球较好

B．单摆的偏角不要太大（小于5°

）

C．为了便于改变摆线的长度，可将摆线的一端绕在铁架上端的水平圆杆上

D．先测量好摆线的长度再系上小球做实验

选B　摆球应选用密度较大、直径较小的金属球，选项A错；

摆线偏离竖直方向的角度越大，利用周期公式计算出的重力加速度的误差就越大，选项B对；

将摆线的一端绕在铁架上端的水平圆杆上，摆动时摆长会改变，对摆长和周期的测量都有影响，选项C错；

测摆长时，应当先系上小球再测量摆线的长度，选项D错。

对单摆模型的考查

[典题例析]

1．一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P（如图136所示），现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<

5°

，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

图136

[思路点拨]

（1）摆球在左边和右边的摆长是否相同？

提示：

不同。

左边：

摆长为l。

右边：

摆长为0.81l。

（2）如何确定单摆的周期？

单摆的周期为左右两个不同单摆的半周期的和。

释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。

摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为T1＝2π

小球在右边的周期为T2＝2π

则整个单摆的周期为

T＝

＋

＝π

＋π

＝1.9π

答案：

1.9π

[探规寻律]

求单摆周期的方法

（1）明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

（2）在运用T＝2π

时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间。

[跟踪演练]

如图137所示，BOC为一光滑圆弧形轨道，其半径为R，且R远大于弧BOC的弧长。

若同时从圆心O′和轨道B点分别无初速度释放一小球P和Q，则（　　）

图137

A．Q球先到达O点

B．P球先到达O点

C．P、Q同时到达O点

D．无法比较

选B　P做自由落体运动，由R＝

gt

得t1＝

Q做简谐运动，t2＝

·

2π

＝

，所以t1<

t2，选项B正确。

对单摆测定重力加速度的考查

2．（安徽高考）根据单摆周期公式T＝2π

，可以通过实验测量当地的重力加速度。

如图138甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

（1）用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。

图138

（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°

，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°

，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

[思路点拨]

（1）游标卡尺读数时应注意游标卡尺的零刻度线和边界线的区别。

（2）测重力加速度时应注意单摆的模型以及摆长和周期的测量。

（1）根据游标卡尺的读数方法，小钢球的直径＝（18＋6×

0.1）mm＝18.6mm

（2）因为单摆的周期T＝2π

与θ无关，c项错误。

因为摆球会以较快的速度通过平衡位置，所以在平衡位置开始计时误差较小，同时为了减小偶然误差应测多次振动的时间并求平均值，综合看d项错误，a、b、e项正确。

（1）18.6　

（2）abe

（1）利用该实验测定重力加速度最主要的是测准摆长（从悬点到球心）和周期，测n次全振动时间应从球经过平衡位置开始计时。

（2）利用图像可以有效地减小误差，由lT2图线的斜率k＝

，知g＝4π2k，求出斜率也就可求得重力加速度。

在利用单摆测定重力加速度的实验中，由于单摆做简谐运动的周期T＝2π

，于是有T2＝

l。

改变单摆的摆长，只要测出摆长及相应的振动周期，作出T2l图像，就可求出当地的重力加速度。

T2l图像应为经过坐标原点的直线。

某学生在实验中作出的T2l图像如图139所示。

图139

（1）造成图线不过原点的原因是（　　）

A．每次都将n个周期的时间记成（n＋1）个周期的时间

B．每次测摆长时，都将摆线长当成了摆长

C．每次实验时，摆球的振幅都不同

D．每次实验时，摆球的质量都不同

（2）根据以上分析，可求得当地的重力加速度为多少？

（取π2＝9.87）

（1）若测量正确，纵坐标为0时，横坐标也应该为0。

现在纵坐标为0的点对应的横坐标为负值，说明横坐标偏小，即摆长偏小，计算摆长时少加了摆球的半径，故选项B正确。

（2）由单摆的周期公式得T2＝

l，T2l图像应为过原点的直线。

若l少加了摆球半径r，整个T2l图像将左移，而图线斜率不变。

因图线斜率k＝

，所以g＝

m/s2＝9.87m/s2。

（1）B　

（2）9.87m/s2

[课堂双基落实]

1．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是

（　　）

A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点

B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C．合力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合力也为零

当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）。

2．（安徽高考）在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律。

法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系。

已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为（　　）

A．T＝2πr

　　　　B．T＝2πr

C．T＝

D．T＝2πl

选B　单摆摆动时的周期为T＝2π

，摆球在地球表面受到的万有引力等于重力，即G

＝mg，得g＝

，因此T＝2πr

，B项正确，A、C、D项错误。

3．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图1310所示，以下说法正确的是（　　）

图1310

A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

选D　由题图知，t1、t3时刻是最大位移处，t2、t4时刻是平衡位置。

单摆做小角度摆动，平衡位置时速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错，D对。

最大位移处速度为零，拉力最小，故A、C错。

4．（江苏高考）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块。

将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。

请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T。

单摆周期公式T＝2π

且kl＝mg

解得T＝2π

[课下综合检测]

（时间：

30分钟　满分：

50分）

一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确。

1．关于单摆，下列认识中正确的是（　　）

A．一根线系着一个球悬挂起来，这样的装置就是单摆

B．可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多

C．单摆的振动总是简谐运动

D．两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同

选B　单摆是实际摆的理想化模型，实际摆只有在不计绳的伸缩、质量和阻力，以及小球可以看做质点时才能看做单摆，A错，B正确；

单摆的运动只有在摆角很小时才能看作简谐运动，C错；

两单摆结构相同，固有周期相同，但振动步调不一定相同，D错。

2．单摆做简谐运动的回复力是（　　）

A．摆球的重力

B．摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力

C．悬线对摆球的拉力

D．摆球所受重力在圆弧切向上的分力

选D　单摆做简谐运动时，摆球如同做圆周运动，摆球重力的切向分力充当回复力，摆球重力的径向分力与摆球拉力的合力充当向心力。

3．（上海高考）两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2（v1>

v2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则（　　）

A．f1>

f2，A1＝A2B．f1<

f2，A1＝A2

C．f1＝f2，A1>

A2D．f1＝f2，A1<

A2

选C　单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A、B错误；

由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C正确，D错误。

4．在用单摆测定重力加速度时，某同学用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是（　　）

A．测定周期时，振动次数少数了一次

B．测定周期时，振动次数多数了一次

C．摆球的质量过大

D．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上小球的半径

选B　由计算g的公式g＝

可知，如果振动次数多数了一次，即T偏小，就会使g偏大，选项A错，B对；

摆球的质量过大，不影响单摆的周期与摆长，所以不影响测得的重力加速度，选项C错；

当l偏小时，求得的g偏小，选项D错。

5．如图1所示为两个单摆的振动图像，从图像中可以知道它们的（　　）

图1

A．摆球质量相等B．振幅相等

C．摆长相等D．摆球同时改变速度方向

选C　由图像可知，两单摆的周期相等，则摆长相等，无法确定质量关系，故A错，C对。

由题图可知振幅不同，且两个摆球不能同时到达最大位移处，即速度方向不能同时改变，故B、D错。

6．如图2所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°

，已知线OC长是L，下端C点系着一个小球。

下面说法中正确的是（　　）

图2

A．让小球在纸面内摆动，周期为T＝2π

B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期为T＝2π

C．让小球在纸面内摆动，周期为T＝2π

D．让小球在垂直纸面内摆动，周期为T＝2π

选A　让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L，周期为T＝2π

让小球在垂直纸面内摆动，则摆球以OC的延长线与AB交点为中心摆，摆长为L＋

cos30°

＝L＋

L，周期T′为T′＝2π

，选项A正确。

二、非选择题（共2小题，共20分）

7．（8分）（福建高考）某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：

（1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图3所示，则该摆球的直径为________cm。

图3

（2）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________。

（填选项前的字母）

A．把单摆从平衡位置拉开30°

的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

（1）主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9cm＋7×

mm＝0.97cm，不需要估读。

（2）单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°

，并从平衡位置计时，故A错误；

若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝

，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝

，B错误；

，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；

为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误。

（1）0.97　

（2）C

8．（12分）如图4甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。

设摆球向右运动为正方向。

图乙是这个单摆的振动图像。

根据图像回答：

图4

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，则这个摆的摆长是多少？

（1）由题图乙知周期T＝0.8s

则频率f＝

＝1.25Hz

（2）由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点。

（3）由T＝2π

得l＝

≈0.16m

（1）1.25Hz　

（2）B点　（3）0.16m