3年高考新课标版高考数学一轮复习105二项分布与正态分布文档格式.docx
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假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:
元),求X的分布列及数学期望.
8.(2012湖南,17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
(注:
将频率视为概率)
B组 2012—2014年高考·
提升题组
1.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
2.(2014辽宁,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
3.(2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:
一年内上游来水与库区降水之和,单位:
亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<
X<
80
80≤X≤120
X>
120
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;
若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
4.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;
若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
5.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
6.(2012天津,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
1.
解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)·
P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
=+×
+×
×
=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)·
P(B3)P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
故X的分布列为
X
4
5
P
EX=2×
+3×
+4×
+5×
2.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:
甲需使用设备,
C表示事件:
丁需使用设备,
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·
B·
C+A2·
B+A2·
·
C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×
0.52,i=0,1,2,(3分)
所以P(D)=P(A1·
C)
=P(A1·
C)+P(A2·
B)+P(A2·
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)·
P()P(C)
=0.31.(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(·
A0·
)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×
0.52×
(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·
+·
C+·
A1·
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×
(1-0.4)+(1-0.6)×
0.4+(1-0.6)×
2×
(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·
C)=P(A2)P(B)·
P(C)=0.52×
0.6×
0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)
数学期望EX=0×
P(X=0)+1×
P(X=1)+2×
P(X=2)+3×
P(X=3)+4×
P(X=4)=0.25+2×
0.38+3×
0.25+4×
0.06=2.(12分)
3.
解析
(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×
市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×
10-1000=4000,500×
6-1000=2000,
300×
10-1000=2000,300×
6-1000=800.
P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×
(1-0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×
0.4+0.5×
(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×
0.4=0.2,
所以X的分布列为
4000
2000
800
0.3
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
(1)知,
P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×
0.82×
0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
4.
解析
(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,
那么1-P()=1-·
p=.
解得p=.(4分)
(2)由题意得,P(ξ=0)==,
P(ξ=1)=·
=,
P(ξ=2)=·
P(ξ=3)==.
所以,随机变量ξ的概率分布列为
ξ
故随机变量ξ的数学期望:
Eξ=0×
+1×
+2×
=.(12分)
5.
解析
(1)记:
“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=,
由于A=B +C+ D,
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)=P(B +C+ D)
=P(B )+P(C)+P( D)
=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=×
+
1-
(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
P(X=0)=P( )
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
P(X=1)=P(B )=P(B)P()P()=×
P(X=2)=P(C+ D)=P(C)+P( D)=×
P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)
P(X=4)=P(CD)=×
P(X=5)=P(BCD)=×
所以EX=0×
6.
解析
(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.
因为P()==,所以P(A)=1-P()=.(6分)
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=·
=;
P(X=1)=·
P(X=2)=·
P(X=3)=·
(10分)
所以E(X)=0×
=2.(12分)
7.
解析
(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1--=,
P(X=500)=,P(X=800)=.
400
EX=400×
+500×
+800×
=506.25.
8.
解析
(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得
P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.
X的分布列为
X的数学期望为E(X)=1×
+1.5×
+2.5×
=1.9.
(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则
P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1),
由于各顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以P(A)=P(X1=1)×
P(X2=1)+P(X1=1)×
P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×
P(X2=1)=×
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
1.A 由条件概率可得所求概率为=0.8,故选A.
解析
(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,
A2表示事件“日销售量低于50个”,
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×
50=0.6,
P(A2)=0.003×
50=0.15,
P(B)=0.6×
0.15×
2=0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
(1-0.6)3=0.064,
0.6(1-0.6)2=0.288,
0.62(1-0.6)=0.432,
0.63=0.216.
分布列为
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×
0.6=1.8,方差D(X)=3×
(1-0.6)=0.72.
解析
(1)依题意,p1=P(40<
80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>
120)==0.1.
由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4×
=0.9477.
(2)记水电站年总利润为Y(单位:
万元).
(i)安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×
1=5000.
(ii)安装2台发电机的情形.
依题意,当40<
80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<
80)=p1=0.2;
当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×
2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:
Y
4200
10000
0.8
所以,E(Y)=4200×
0.2+10000×
0.8=8840.
(iii)安装3台发电机的情形.
80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<
当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×
2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;
当X>
120时,三台发电机运行,此时Y=5000×
3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>
120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:
3400
9200
15000
0.7
0.1
所以,E(Y)=3400×
0.2+9200×
0.7+15000×
0.1=8620.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
解析
(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,
由题意,各局比赛结果相互独立,
故P(A1)==,
P(A2)=×
P(A3)=×
所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,
由题意,各局比赛结果相互独立,所以
P(A4)=×
由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.
根据事件的互斥性得
P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.
又P(X=1)=P(A3)=,
P(X=2)=P(A4)=,
P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,
解析
(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P(A)==,P(B)==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P(A)=P(A)·
P()=P(A)·
[1-P(B)]
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P(C)==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P(X=0)=P( )=×
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
P(X=3)=P(ABC)=×
∴X的分布列为
∴X的数学期望EX=0×
==.
解析 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=·
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故
P(B)=P(A3)+P(A4)=·
+=.
所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故
P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×