【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（ √ ）
（2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.（ √ ）
（3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.（ √ ）
（4）方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．（ × ）
（5）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（ √ ）
1．（教材改编）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（ ）
A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
答案 C
解析 圆心是（1,2），所以将圆心坐标代入检验选项C满足．
2．已知圆C：
（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m,0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
答案 B
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为（3,4），半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，
易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
因为|OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值为6.
3．（2015·北京）圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x－1）2＋（y－1）2＝1
B．（x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
D．（x－1）2＋（y－1）2＝2
答案 D
解析 圆的半径r＝＝，∴圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
4．（教材改编）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（－1,1）和B（1,3），则圆C的方程为______________．
答案 （x－2）2＋y2＝10
解析 设圆心坐标为C（a,0），
∵点A（－1,1）和B（1,3）在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
∴圆心为C（2,0），
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10.
5．（2016·浙江）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案 （－2，－4） 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，
表示以（－2，－4）为圆心，半径为5的圆.
题型一 求圆的方程
例1
（1）（2016·天津）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
（2）（2015·课标全国Ⅰ）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案
（1）（x－2）2＋y2＝9
（2）2＋y2＝
解析
（1）因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a,0），且a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9.
（2）由题意知圆过（4,0），（0,2），（0，－2）三点，
（4,0），（0，－2）两点的垂直平分线方程为
y＋1＝－2（x－2），
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.
思维升华
（1）直接法：
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
（2）待定系数法
①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
（2016·湖北八校联考）已知圆C关于y轴对称，经过点A（1,0），且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋（y±）2＝
解析 ∵圆C关于y轴对称，∴可设C（0，b），
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋（y－b）2＝r2，
依题意，得解得
于是圆C的标准方程为x2＋（y±）2＝.
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
引申探究
1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解 可视为点（x，y）与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
2．在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解 ＝，求它的最值可视为求点（x，y）到定点（－1,2）的距离的最值，可转化为圆心（2，－3）到定点（－1,2）的距离与半径的和或差．又圆心到定点（－1,2）的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点（x，y）有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如（x－a）2＋（y－b）2型的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离平方的最值问题．
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
（1）的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2＋y2的最大值和最小值．
解
（1）如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心（2,0）到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
（2）设y－x＝b，则y＝x＋b，
当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得＝，
即b＝－2±，
故（y－x）min＝－2－.
（3）x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
（x2＋y2）max＝|OC′|2＝（2＋）2＝7＋4，
（x2＋y2）min＝|OB|2＝（2－）2＝7－4.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 （2017·潍坊调研）已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解
（1）设AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y）．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
（1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法，根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法，利用圆的几何性质列方程；（4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
（2016·天津模拟）设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.从而
又N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
因此所求轨迹为圆：
（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
但应除去两点和（点P在直线OM上的情况）．
21．利用几何性质巧设方程求半径
典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．
（1）一般解法（代数法）：
可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
（2）巧妙解法（几何法）：
利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
规范解答
解 一般解法 （代数法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0），设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0），
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
巧妙解法 （几何法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．
故可设C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝
（2）2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.
1．（2016·南昌检测）圆心在y轴上，且过点（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（ ）
A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0
答案 B
解析 根据题意，设圆心坐标为（0，r），
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