鸡兔同笼应用题解法文档格式.docx
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…
13
7
54
生2:
我们组得出的结果也是只13鸡、7只兔,但我们不是一个一个地试,这样太麻烦了,我们是5个5个地试。
5
15
70
10
60
50
14
6
52
54
生3:
因为鸡、兔共20只,我们先假设鸡、兔各10只,这样共有60条腿,比54条腿多6条,说明假设的兔多了3只,鸡少了3只,于是兔只有7只,鸡有13只。
生4:
我们是先按鸡兔各一半来算的。
12
8
56
同学们的探索精神和方法都很好,都能用自己的方法成功地解决“鸡兔同笼问题”。
谁还有其他的解法吗?
(老师让举手的其中三名学生上台板演)
生5:
假设20只都是鸡,那么兔有:
(54-20×
2)÷
(4-2)=7(只),鸡有20-7=13(只)。
生6:
假设20只都是兔,那么鸡有:
(4×
20-54)÷
(4-2)=13(只),兔有20-13=7(只)。
生7:
设鸡有X只,那么兔有(20-X)只。
2X+4(20-X)=54,X=13,
20-13=7(只)即鸡有13只,兔有7只。
同学太聪明了,想出了这么多好办法,通过以上的学习,你有什么发现,有什么想法吗?
生:
解决一个问题可以有不同的方法。
……
三、想一想,做一做:
1.尝试解答课前提出的古代《孙子算经》中记载的鸡兔同笼问题。
2.完成书中练一练中的4道题第4道题,
小结:
师生共同总结,我们今天学习的鸡兔同笼问题,发现了可以用画图的方法解决、可以用列表的方式进行分析。
还可以用假设的方法(亦可称作置换法),可以先假设都是一种事物(换成同一种事物),再根据题中给出的条件进行修正、推算。
有的同学还用方程来解决这个问题,一个问题可以用多种方法来解决,真是条条大路通罗马呀!
希望同学们今后在学习中也能象今天一样肯于动脑,勤于思考,使我们每一个同学都越学聪明。
一,基本问题
"
鸡兔同笼"
是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"
假设法"
来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只
解:
我们设想,每只鸡都是"
金鸡独立"
一只脚站着;
而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·
也就是
244÷
2=122(只).
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数
122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答:
有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷
2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"
脚数"
就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×
88只脚,比244只脚多了
88×
4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡
(88×
4-244)÷
(4-2)=54(只).
说明我们设想的88只"
兔子"
中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=(兔脚数×
总头数-总脚数)÷
(兔脚数-鸡脚数).
当然,我们也可以设想88只都是"
鸡"
那么共有脚2×
88=176(只),比244只脚少了
244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,
68÷
2=34(只).
说明设想中的"
有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×
总头数)÷
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"
.
现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支
以"
分"
作为钱的单位.我们设想,一种"
有11只脚,一种"
有19只脚,它们共有16个头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成"
问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=(19×
16-280)÷
(19-11)
=24÷
8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"
19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"
8只是"
根据这一设想,脚数是
8×
(11+19)=240.
比280少40.
40÷
(19-11)=5.
就知道设想中的8只"
应少5只,也就是"
(蓝铅笔)数是3.
30×
8比19×
16或11×
16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"
兔数"
为10,"
鸡数"
为6,就有脚数
19×
10+11×
6=256.
比280少24.
24÷
(19-11)=3,
就知道设想6只"
要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时
我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷
6=5(份),乙每小时打30÷
10=3(份).
现在把甲打字的时间看成"
兔"
头数,乙打字的时间看成"
头数,总头数是7."
的脚数是5,"
的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"
问题了.
根据前面的公式
数=(30-3×
7)÷
(5-3)
=4.5,
数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"
头数,弟的年龄看作"
头数.25是"
总头数"
.86是"
总脚数"
.根据公式,兄的年龄是
(25×
4-86)÷
(4-3)=14(岁).
1998年,兄年龄是
14-4=10(岁).
父年龄是
(25-14)×
4-4=40(岁).
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
(40-10)÷
(3-1)=15(岁).
这是2003年.
公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"
8条腿"
与"
6条腿"
两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×
18)÷
(8-6)
=5(只).
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=(13×
2-20)÷
(2-1)=6(只).
因此蜻蜓数是13-6=7(只).
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.
例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人
对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×
7-5×
6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷
2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×
39)÷
(4-1.5)=31(人).
做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张
5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天
6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;
有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
二,"
两数之差"
的问题
鸡兔同笼中的总头数是"
两数之和"
如果把条件换成"
又应该怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×
40)÷
(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70(张).
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件"
8分比4分多40张"
那么应有60张8分.以"
作为计算单位,此时邮票总值是
4×
20+8×
60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持"
差"
是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是
(680-4×
20-8×
60)÷
(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天
工程要多少天才能完成
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有
(150-8×
3)÷
(10+8)=7(天).
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17(天).
这项工程17天完成.
请注意,如果把"
雨天比晴天多3天"
去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷
2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷
2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
(100+28÷
(2+1)=38(只).
鸡是
100-38=62(只).
鸡62只,兔38只.
当然也可以去掉兔28÷
4=7(只).兔的只数是
(100-28÷
4)÷
(2+1)+7=38(只).
假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是
50-2×
50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是
(100-28)÷
(4+2)=12(只).
兔只数是
50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成"
总脚数也换成"
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;
七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×
5×
4+20=280(字).
每首字数相差
7×
4-5×
4=8(字).
因此,七言绝句有
28÷
(28-20)=35(首).
五言绝句有
35+13=48(首).
五言绝句48首,七言绝句35首.
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×
23=460(字),28×
10=280(字),五言绝句的字数,反而多了
460-280=180(字).
与题目中"
少20字"
相差
180+20=200(字).
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷
8=25(首).
23+25=48(首).
七言绝句有
10+25=35(首).
在写出"
公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"
公式对照一下,就会发现非常有趣的事.
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
(8+4)=30(张).
例9,假设都是兔,鸡的只数是
(100×
4-28)÷
(4+2)=62(只).
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×
13+20)÷
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"
公式比较,这三个算式只是有一处"
-"
成了"
+"
.其奥妙何在呢
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是
(400-379.6)÷
(1+0.2)=17(只).
这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是"
同一类型的问题吗
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;
第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分
如果小明第一次测验24题全对,得5×
24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是
6-2×
(15-6)=30(分).
两次相差
120-30=90(分).
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
6+10=16(分).
(90-10)÷
(6+10)=5(题).
因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).
第一次得分
19-1×
(24-9)=90.
第二次得分
11-2×
(15-11)=80.
第一次得90分,第二次得80分.
答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9(题).
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×
9.但两次满分都是120分.比题目中条件"
第一次得分多10分"
要少了6×
9+10.因此,第二次答错题数是
(6×
9+10)÷
(6+10)=4(题)·
第一次答错9-4=5(题).
第一次得分5×
(24-5)-1×
5=90(分).
第二次得分8×
(15-4)-2×
4=80(分).
习题二
1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少
2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克
3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天
4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题
5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;
若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发
6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.
三,从"
三"
到"
二"
和"
是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把"
三种"
转化成"
二种"
来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.
例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支
从条件"
铅笔数量是圆珠笔的4倍"
这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作
(0.60×
4+2.7)÷
5=1.02(元).
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"
公式可算出,钢笔支数是
(300-1.02×
232)÷
(6.3-1.02)=12(支).
铅笔和圆珠笔共
232-12=220(支).
其中圆珠笔
220÷
(4+1)=44(支).
铅笔
220-44=176(支).
其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.
例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个
因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是
(1.5×
2+1×
(2+3)=1.2(元).
从公式可算出,大球个数是
(120-1.2×
55)÷
(3-1.2)=30(个).
买中,小球钱数各是
(120-30×
2=15(元).
可买10个中球,15个小球.
买大球30个,中球10个,小球15个.
例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"
了.
例15是为例16作准备.
例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少
去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.
平均速度=所行距离÷
所用时间
去时走1千米,要用20分钟;
回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.
千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:
每小时走(6+3)÷
2=4.5千米.
例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;
从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米
把来回路程45×
2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;
去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"
一种"
路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"
问题.头数