绝对值习题及答案Word文档下载推荐.docx
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例2判断下列各式是否正确(正确入“T”,错误入“F”):
(1)|-a|=|a|;
()
(2)-|a|=|-a|;
(4)若|a|=|b|,则a=b;
(5)若a=b,则|a|=|b|;
(6)若|a|>|b|,则a>b;
(7)若a>b,则|a|>|b|;
(8)若a>b,则|b-a|=a-b.()
判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义,所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性.判数(或证明)一个结论是错误的,只要能举出反例即可.如第
(2)小题中取a=1,则-|a|=-|1|=-1,而|-a|=|-1|=1,所以-|a|≠|-a|.同理,在第(6)小题中取a=-1,b=0,在第(4)、(7)小题中取a=5,b=-5等,都可以充分说明结论是错误的.要证明一个结论正确,须写出证明过程.如第(3)小题是正确的.证明步骤如下:
此题证明的依据是利用|a|的定义,化去绝对值符号即可.对于证明第
(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况.
其中第
(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确,
(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的.
判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程,只是在证明时需要写明道理和依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论是错误的,可依据概念、性质等知识,用推理的方法来否定这个结论,也可以用举反例的方法,后者有时更为简便.
例3判断对错.(对的入“T”,错的入“F”)
(1)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0.
()
(2)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0.
(3)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1.
(4)如果说“一个数的绝对值是负数”,那么这句话是错的.
(5)如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数.
(1)T.
(2)F.-1的倒数也是它本身,0没有倒数.
(3)F.正数的绝对值都等于它本身,所以绝对值是它本身的数是正数和0.
(4)T.任何一个数的绝对值都是正数或0,不可能是负数,所以这句话是错的.
(5)F.0的绝对值是0,也可以认为是0的相反数,所以少了一个数0.
解判断题时应注意两点:
(1)必须“紧扣”概念进行判断;
(2)要注意检查特殊数,如0,1,-1等是否符合题意.
例4已知(a-1)2+|b+3|=0,求a、b.
根据平方数与绝对值的性质,式中(a-1)2与|b+3|都是非负数.因为两个非负数的和为“0”,当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立,所以由已知条件必有a-1=0且b+3=0.a、b即可求出.
∵(a-1)2≥0,|b+3|≥0,
又(a-1)2+|b+3|=0
∴a-1=0且b+3=0
∴a=1,b=-3.
对于任意一个有理数x,x2≥0和|x|≥0这两条性质是十分重要的,在解题过程中经常用到.
例5填空:
(1)若|a|=6,则a=______;
(2)若|-b|=0.87,则b=______;
(4)若x+|x|=0,则x是______数.
已知一个数的绝对值求这个数,则这个数有两个,它们是互为相反数.
(1)∵|a|=6,∴a=±
6;
(2)∵|-b|=0.87,∴b=±
0.87;
(4)∵x+|x|=0,∴|x|=-x.
∵|x|≥0,∴-x≥0
∴x≤0,x是非正数.
“绝对值”是代数中最重要的概念之一,应当从正、逆两个方面来理解这个概念.
对绝对值的代数定义,至少要认识到以下四点:
(家教4.0,复习辅导“有理数”例32结
(1)—(4))
例6判断对错:
(对的入“T”,错的入“F”)
(1)没有最大的自然数.()
(2)有最小的偶数0.()
(3)没有最小的正有理数.()
(4)没有最小的正整数.()
(5)有最大的负有理数.()
(6)有最大的负整数-1.()
(7)没有最小的有理数.()
(8)有绝对值最小的有理数.()
(2)F.数的范围扩展后,偶数的范围也随之扩展.偶数包含正偶数,0,负偶数(-2,-4,…),所以0不是最小的偶数,偶数没有最小的.
(3)T.
(4)F.有最小的正整数1.
(5)F.没有最大的负有理数.
(6)T.
(7)T.
(8)T.绝对值最小的有理数是0.
例7比较下列每组数的大小,在横线上填上适当的关系符号
(“<”“=”“>”)
(1)|-0.01|______-|100|;
(2)-(-3)______-|-3|;
(3)-[-(-90)]_______0;
(6)当a<3时,a-3______0;
|3-a|______a-3.
比较两个有理数的大小,需先将各数化简,然后根据法则进行比较.
(1)|-0.01|>-|100|;
(2)-(-3)>-|-3|;
(3)-[-(-90)]<0;
(6)当a<3时,a-3<0,|3-a|>a-3.
比较两个有理数大小的依据是:
①在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,正数大于0,大于一切负数,负数小于0,小于一切正数,两个负数,绝对值大的反而小.
②两个正分数,若分子相同则分母越大分数值越小;
若分母相同,则分子越大分数值越大;
也可将分数化成小数来比较.
例8比较大小:
比较两个负分数的大小,按法则,先要求出它们的绝对值,并比较绝对值的大小.
(1)这两个数的绝对值是两个异分母的正分数,要比较它们的大小,需通分;
(2)用
(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的,此法不可取.通过比较它们的倒数,可以快捷的达到目的.
两个有理数比较大小,当它们都是负数时,必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小.
(1)一定要注意,因为是两个负数,所以它们的绝对值越大,对应点在数轴的左边离原点的距离就越远,因此它的值就越小.
(2)比较两个异分母正分数的大小时,如果通分很麻烦,可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的.理论依据
例9在数轴上画出下列各题中x的范围:
(1)|x|≥4;
(2)|x|<3;
(3)2<|x|≤5.
根据绝对值的几何意义画图.例如,|x|≥4的几何意义是:
数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合;
|x|<3的几何意义是:
数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合.
(1)|x|≥4,即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4,如图1.
∴当x>0时,有x≥4;
当x<0时,有x≤-4.
(2)|x|<3,即数轴上x对应的点到原点的距离小于3,如图2.
即有-3<x<3.
(3)2<|x|≤5,即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5,如图3.
即-5≤x<-2或2<x≤5.
在数轴上表示含绝对值的不等式时,最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围.应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法,并真正做到“理解”.
例10
(1)求绝对值不大于2的整数;
(2)已知x是整数,且2.5<|x|<7,求x.
(1)求绝对值不大于2的整数,就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点.
(2)因为2.5<|x|<7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数,所以,依绝对值定义应该是满足-7<x<-2.5,或2.5<x<7的所有整数.
(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围.
由图看出,绝对值不大于2的整数是:
-2,-1,0,1,2
(2)符合2.5<|x|<7的所有整数,就是符合-7<x<-2.5或2.5<x<7的所有整数.
由图看出,符合2.5<|x|<7的整数是:
x=±
3,±
4,±
5,±
6.
因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义,所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义.此题也可以用代数定义求解.根据绝对值的几何定义,用数形结合的思想,把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决,是经常采用的方法.
例11已知a、b、c所表示的数如图所示:
(1)求|b|,|c|,|b+1|,|a-c|;
*
(2)化简|a-b|-|-a|+|c-1|+|c-b|.
由图知a<-1<b<0,0<c<1.
根据以上条件,先确定绝对值符号内的数是正数还是负数,然后再化简.
由图知a<0,b<0,c>0,
且b>-1,a<c,a<b,c<1,c>b,
∴b+1>0,a-c<0,a-b<0,c-1<0,c-b>0
(1)|b|=-b,|c|=c,|b+1|=b+1
|a-c|=-(a-c)=c-a
(2)|a-b|-|-a|+|c-1|+|c-b|
=(b-a)-(-a)+(1-c)+(c-b)
=b-a+a+1-c+c-b
=1
(1)a-b的相反数是-(a-b)=b-a.
a+b的相反数是-(a+b)=-a-b.
(2)|a-b|的几何意义是:
数轴上表示数a、b的两个点之间的距离.不同的两个点之间的距离总是一个正数,等于“较大的数减较小的数”的差.
例12解方程:
(1)已知|14-x|=6,求x;
*
(2)已知|x+1|+4=2x,求x.
解简单的含有绝对值符号的方程,一般都根据绝对值的代数定义,先化去绝对值符号,然后求解.
(2)题需把原方程转化为|x+1|=2x-4的形式后,才便于应用绝对值的代数定义.
(1)∵|14-x|=|x-14|=6
∴x-14=±
6
当x-14=6时,x=20;
当x-14=-6时,x=8.
∴x=20或8.
(2)∵|x+1|+4=2x
∴|x+1|=2x-4
∵|x+1|≥0,
∴2x-4≥0,x≥2.
∵x≥2,
∴x+1>0,|x+1|=x+1.
原方程变形为x+1+4=2x
∴x=5.
*例13化简|a+2|-|a-3|
要化简此式,关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a+2和a-3在a取不同数值时它们的符号情况,才能正确地转化为不含绝对值的式子.为了能达到此目的,首先应判定|a+2|=0和|a-3|=0时a的取值,即a=-2和a=3,由此可知,a的取值可分为三种情况:
即a<-2,-2≤a<3,a≥3.这时|a+2|和|a-3|就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了.
由|a+2|=0和|a-3|=0
得a=-2或a=3.
-2和3把数轴分为三部分(如图):
当a<-2时,原式=-(a+2)-[-(a-3)]
=-a-2+a-3
=-5
当-2≤a<3时,原式=a+2-[-(a-3)]
=a+2+a-3
=2a-1
当a≥3时,原式=a+2-(a-3)
=a+2-a+3
=5
解含有绝对值符号的题目时,首先要将其转化为不含绝对值符号的形式.然后再进行整理或化简.