二次函数及面积之铅垂高可编辑修改word版Word格式文档下载.docx
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图12-2
1
例1解：
（1）设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）2+4∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分把A（3,0）代入解析式求得a=-1
所以y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分设直线AB的解析式为：
y2=kx+b
由y=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0,3）
把A（3,0），B（0,3）代入y2=kx+b中解得：
k=-1,b=3
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
所以y2=-x+3∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
（2）因为C点坐标为（１,4）
所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2
所以CD＝4-2＝2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
S∆CAB
=1⨯3⨯2=3（平方单位）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
2
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
12
则h=y-y=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
9
由S△PAB=8S△CAB
得：
1⨯3⨯（-x2+3x）=9⨯3
28
化简得：
4x2-12x+9=0
3
解得，x=
将x=代入y=-x2+2x+3中，
21
315
解得P点坐标为（,
）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
4
总结：
求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学
会用坐标表示线段。
例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>
0）
的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点
的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
1）方法一：
由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）
⎪
⎧a-b+c=0
⎨9a+3b+c=0
⎩
⎪c=-3
将A、B、C三点的坐标代入得
⎧a=1
⎨b=-2
解得：
所以这个二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3
方法二：
C（0，－3），A（－1，0）设该表达式为：
y=a（x+1）（x-3）
将C点的坐标代入得：
a=1
（注：
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：
存在，F点的坐标为（2，－3）
理由：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
y=-x-3
∴E点的坐标为（－3，0）
由A、C、E、F四点的坐标得：
AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>
0），则N（R+1，R），
R=
代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>
0），
则N（r+1，－r），
r=-1+17
代入抛物线的表达式，解得2
1+17
∴圆的半径为2
-1+17
或2．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为y=-x-1．
设P（x，x2-2x-3），则Q（x，－x－1），PQ=-x2+x+2．
S∆APG
=S∆APQ
+
S∆GPQ
=1（-x2+x+2）⨯3
x=1
当2时，△APG的面积最大
⎛1,-15⎫27
ç
此时P点的坐标为⎝
⎪S∆APG的最大值为
⎭，8．
随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），
BC=2
．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设
（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
x=4
（2,23）y=a（x-4）+m
【答案】解：
（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，
⎧16a+m=0
⎨
则⎩4a+m=2
，解得
a=-
m=.
63
∴所求抛物线的函数关系式为
y=-
（x-4）2+
⎧-4k+b=0
…………①
k=
b=
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,则⎩2k+b=2
33．
y=x+
∴直线AC的函数关系式为33
，∴点E的坐标为
（4,）
把x=4代入①式，得
3（4-4）2+83=83
633
，∴此抛物线过E点．
（2）
（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，
111
（8-x）y+（y+23）（x-2）-⨯（8-2）⨯2
则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=222
3y+
3x-8
=3（-
x2+
x）+
3x-8=-
x2+53x-8
=
-（x-5）2+93,
=22
632
∴当x=5时，S△CMN有最大值2
课下练习1．（本题满分12分）已知：
如图一次函数y＝1x＋1的图象与x轴交于点A，与y
轴交于点B；
二次函数y＝1x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝1x＋1的图象交于B、C两
22
点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
第24题图
3．（2010山东临沂）如图，二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于两点，且与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式，并判断∆ABC的形状；
A（-1,0）
B（2,0）
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、
C、D、
B四点为顶点的四边形是等腰梯
形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、
B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？
若存在，求出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
第26题图
根据题意，将A（
⎧-1-1a+b=0,
-1
2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
⎪42
得⎪⎩-4+2a+b=0.
⎧a=3,
解这个方程，得⎪⎩b=1.
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所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
5
所以在△AOC中，AC==2.
在△BOC中，BC==.
1+2=5
AB=OA+OB=22.
1+2=25=AB2
因为AC2+BC2=44.
所以△ABC是直角三角形。
⎛3,1⎫
2⎪
（2）点D的坐标是⎝⎭.
（3）存在。
由
（1）知，AC⊥BC,
若以BC为底边，则BC∥AP,如图
（1）所示，可求得直线BC的解析式为
y=-1x+1
2.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设
y=-1x+b
直线AP的解析式为2，
-1图1
将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=
y=-1x-1
4,所
以直线AP的解析式为
24.
因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=
-1x-1
x=5x=-1
解得1222（不合题意，舍去）.
5-3
当x=2时，y=2.
所以点P的坐标为（2，2）.
②若以AC为底边，则BP∥AC，如图
（2）所示，可求得直线AC的解析式为
y=2x+1.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，
将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P
的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-4
x=-5,x=2
解得122
（不合题意，舍去）.
5
当x=-2时，y=-9.
所以点P的坐标为（-2，-9）.
5-35
综上所述，满足题目的点P的坐标为（2，2）或（-2，-9）
-1x2+3x+4
2（本题10分）如图，已知二次函数y=42
的图象与y轴交于点A，与x轴
交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为，点C的坐标为；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?
若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；
若不存在，请说明理由；
点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
．解：
（1）A（0，4），C（8，0）．…2分
（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，
⎧b=4,
⎧k=-1,1
则
⎩8k+b=0.
分
解得⎪2
⎪⎩b=4.
∴y=-
x+4．3
①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴E1（0，4）．4分
②当ED=EC时，可得E（11，5）．5分
224
③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，∴EG=CG=CE．
OAOCAC
即EG=，CG=2
，∴E3（8-2，
）．…6分
综上，符合条件的点E有三个：
E（0，4），E（11，5），E（8-2，）．
12243
（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．
设P（m，-1m2+3m+4），则Q（m，-1m+4）．
422
①当0<
m<
8时，
PQ=（-1m2+3m+4）-（-1m+4）=-1m2+2m，
4224
SAPC
=SCPQ
SAPQ
=1⨯8⨯（-1m2+2m）=-（m-4）2+16，…7分
24
∴0<
S≤16；
8分
②当-2<
0时，
PQ=（-1m+4）-（-1m2+3m+4）=1m2-2m，
2424
-
=1⨯8⨯2
（1m2-2m）=（m-4）2-16，4
S<
20．9
故S=16时，相应的点P有且只有两个．…………………………
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