二次函数及面积之铅垂高可编辑修改word版Word格式文档下载.docx

1、图 12-21例 1 解：（1）设抛物线的解析式为： y = a（x - 1）2 + 4 1 分把 A（3,0）代入解析式求得 a = -1所以 y = -（x - 1）2 + 4 = -x 2 + 2x + 3 3 分设直线 AB 的解析式为： y2 = kx + b由 y = -x 2 + 2x + 3 求得 B 点的坐标为（0,3）把 A（3,0） ， B（0,3） 代入 y2 = kx + b 中解得： k = -1, b = 34 分所以 y2 = -x + 3 6 分（2）因为 C 点坐标为（,4）所以当 x时，y14，y22所以 CD4-22 8 分SCAB= 1 3 2 = 3

2、 （平方单位） 10 分2（3）假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，1 2则 h = y - y = （-x 2 + 2x + 3） - （-x + 3） = -x 2 + 3x 12 分9由 SPAB= 8 SCAB得： 1 3 （-x 2 + 3x） = 9 32 8化简得： 4x 2 - 12x + 9 = 03解得， x =将 x = 代入 y = -x 2 + 2x + 3 中，2 13 15解得 P 点坐标为（ ,） 14 分4总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例 2（2010

3、广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c（a 0）的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO （1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切， 求该圆半径的长度（4）如图 1

4、1，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）a - b + c = 09a + 3b + c = 0c = -3将 A、B、C 三点的坐标代入得a = 1b = -2解得：所以这个二次函数的表达式为： y = x 2 - 2x - 3方法二：C（0，3），A（1，0）设该表达式为： y = a（x + 1）（x - 3）将 C 点的坐标代入得： a = 1（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法

5、一：存在，F 点的坐标为（2，3）理由：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为： y = -x - 3E 点的坐标为（3，0）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R0），则 N（R+1，R），R =代入抛物线的表达式，解得当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0），则 N（r+1，r）

6、，r = - 1 + 17代入抛物线的表达式，解得 21 + 17圆的半径为 2- 1 + 17或 2 （4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q， 易得 G（2，3），直线 AG 为 y = -x - 1 设 P（x， x 2 - 2x - 3 ），则 Q（x，x1），PQ = -x 2 + x + 2 SAPG= SAPQ+SGPQ= 1 （-x 2 + x + 2） 3x = 1当 2 时，APG 的面积最大 1 ,- 15 27此时 P 点的坐标为 SAPG的最大值为 ， 8 随堂练习 1（2010 江苏无锡）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和

7、（2，0），BC= 2设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值x=4（ 2, 2 3） y = a（ x - 4） + m【答案】解：（1）点 C 的坐标 设抛物线的函数关系式为 ，16a + m = 0则4a + m = 2，解得a = -, m = .6 3所求抛物线的函数关系式为y = -（ x - 4）2 +-4k + b = 0k =, b =设直线 AC 的函

8、数关系式为 y = kx + b, 则2k + b = 23 3 y = x +直线 AC 的函数关系式为 3 3，点 E 的坐标为（4, ）把 x=4 代入式，得3 （4 - 4）2 + 8 3 = 8 36 3 3，此抛物线过 E 点（2）（1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为 N（8，0），设 M（x，y），过 M 作 MGx 轴于 G，1 1 1 （8 - x） y + （ y + 2 3）（ x - 2） - （8 - 2） 2则SCMN=SMNG+S 梯形MGBCSCBN= 2 2 23 y +3x - 8= 3（-x2 +x） +3x - 8 = -x2 + 5 3x - 8=-

9、 （ x - 5）2 + 9 3 ,= 2 26 3 2当 x=5 时，SCMN 有最大值 2课下练习 1（本题满分 12 分）已知：如图一次函数 y 1 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B；二次函数 y 1 x2bxc 的图象与一次函数 y 1 x1 的图象交于 B、C 两2 2点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由第 24 题图3（2010 山东临沂）如图，二次函

10、数 y = x2 + ax + b 的图象与 x 轴交于两点，且与 y 轴交于点C .（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；A（- 1 , 0）, B（2, 0）（2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D ,且以 A、C 、 D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点 P ,使得以 A、 C 、B、 P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由.第 26 题图根据题意，将 A（- 1 - 1 a + b = 0, - 12 ,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中， 4 2得-4 + 2a

11、+ b = 0.a = 3 ,解这个方程，得b = 1.全品中考网所以抛物线的解析式为 y=-x2+ 2 x+1.当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1）。 5所以在AOC 中，AC= = 2 .在BOC 中，BC= = .1 + 2 = 5AB=OA+OB= 2 2 .1 + 2 = 25 = AB2因为 AC2+BC2= 4 4 .所以ABC 是直角三角形。 3 ,1 2 （2）点 D 的坐标是 .（3）存在。由（1）知，ACBC,若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为y = - 1 x +12 .直线 AP 可以看作是由直线 AC 平

12、移得到的，所以设y = - 1 x + b直线 AP 的解析式为 2 ，- 1 图 1将 A（ 2 ,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=y = - 1 x - 14 ,所以直线 AP 的解析式为2 4 .因为点P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=- 1 x - 1x = 5 x = - 1解得 1 2 2 2 （不合题意，舍去）.5 - 3当 x= 2 时，y= 2 .所以点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ）.若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为y = 2x +1.直线 BP 可以看作是由直线 AC

13、 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 y = 2x + b ，将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线BP 的解析式为 y=2x-4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4x = - 5 , x = 2解得 1 2 2（不合题意，舍去）.5当 x=- 2 时，y=-9.所以点 P 的坐标为（- 2 ，-9）.5 - 3 5综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ）或（- 2 ，-9）- 1 x 2 + 3 x + 42（本题 10 分）如图，已知二次函数 y= 4 2的图象与 y 轴交于点

14、 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC （1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；（2）线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，若所得PAC 的面积为 S， 则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个?解：（1）A（0，4），C（8，0） 2 分（2）易得 D（3，0），CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为 y = kx + b ，b = 4,k = - 1 , 1则8k + b = 0.分解得 2b

15、= 4. y = -x + 4 3当 DE=DC 时，OA=4，OD=3DA=5， E1 （0，4） 4 分当 ED=EC 时，可得 E （ 11 ， 5 ） 5 分2 2 4当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，则 CEG CAO， EG = CG = CE OA OC AC即 EG = ， CG = 2， E3 （ 8 - 2 ，） 6 分综上，符合条件的点 E 有三个： E （0，4）， E （ 11 ， 5 ）， E （ 8 - 2 ， ）1 2 2 4 3（3）如图，过 P 作 PHOC，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q设 P（m， - 1 m2 + 3 m + 4 ）

16、，则 Q（ m ， - 1 m + 4 ）4 2 2当0 m 8 时，PQ=（ - 1 m2 + 3 m + 4 ） - （ - 1 m + 4 ）= - 1 m2 + 2m ，4 2 2 4S APC= S CPQS APQ= 1 8 （- 1 m2 + 2m） = -（m - 4）2 + 16 ， 7 分2 4 0 S 16 ； 8 分当-2 0 时，PQ=（ - 1 m + 4 ） - （ - 1 m2 + 3 m + 4 ）= 1 m2 - 2m ，2 4 2 4-= 1 8 2（1 m2 - 2m） = （m - 4）2 - 16 ， 4 S 20 9故 S = 16 时，相应的点 P 有且只有两个