第一章 特殊的平行四边形Word文档格式.docx
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2．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得
到_____________的四边形是菱形．
3．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________________．第3题图
4．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______．
5．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．是中心对称图形 C．是轴对称图形 D．对角线互相平分
6．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:
2，则较短对角线的长是_____________；
一组对边的距离是____________．
7．以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是____________．
1.1菱形的性质与判定第一课时判定
一、自主预习（10分钟）
1．复习
（1）菱形的定义：
（2）菱形的性质1
性质2
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 ：
注意此方法包括两个条件：
（1）是一个平行四边形；
（2）两条对角线互相垂直．
通过下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2 ：
二、合作解疑（20分钟））
1.判断题，对的画“√”错的画“×
”
（1）.对角线互相垂直的四边形是菱形（）
（2）.一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）
（3）..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）
（4）.对角线相等的四边形是菱形（）
2.已知：
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
四边形AFCE是菱形．
3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？
（1）四边形ABCD是平行四边形
（2）过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
（3）求证：
四边形ABCD是菱形.
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
MN与PQ互相垂直平分．
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是；
（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．
2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．
（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，
四边形OCED是菱形。
1.2矩形的性质与判定第一课时性质
（1）请用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？
（2）试着改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？
这时这个平行四边形的内角是多少度？
（3）观察图形特征，得出概念.
叫做矩形.
矩形的性质：
矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：
矩形的四个角______；
矩形的对角线______；
矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
二、合作解疑（15分钟）
问题一如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？
问题二将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”
已知：
四、例题学习
例：
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。
求证：
△AOB是等边三角形。
（注意表达格式完整性与逻辑性）
拓展与延伸：
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°
”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°
，AB=4.
（1）判断△AOD的形状；
（2）求对角线AC、BD的长.
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：
一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°
，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°
，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（）．
（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对
3．已知：
如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°
，求∠AEO的度数．
1.2矩形的性质与判定第一课时判定
1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
3.想一想：
矩形有哪些性质？
在这些性质中那些是平行四边形所没有的？
列表进行比较.
矩形
边
角
对角线
二、学习新知：
自学教材
1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
请说出最基本的方法：
矩形具有平行四边形不具有的性质是：
思考：
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？
看看谁的方法可行？
（得到矩形的一个判定）
2.做一做：
按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由.（探索得到矩形的另一个判定）
总结：
矩形的判定方法．矩形判定方法1：
______________________________
矩形判定方法2：
_______________________________
（指出：
判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
二、合作解疑（10分钟）
下列各句判定矩形的说法是否正确？
为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；
（）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；
（）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；
（）（4）对角线相等的四边形是矩形；
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）
三、例题学习（10分钟）
例1.：
已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
例2已知：
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．
四边形EFGH是矩形．
练习二：
（5分钟）（选择）
1.下列说法正确的是（）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形
2.满足下列条件（）的四边形是矩形。
A．有三个角相等B.有一个角是直角
C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分
如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，
四边形PMQN是矩形。
1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．
A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角
2、能判断四边形是矩形的条件是（）
A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。
3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:
四边形ABCD是矩形.
4、已知四边形ABCD中AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
四边形EFGH是矩形。
1.3正方形的性质与判定
学习目标：
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
学习重点：
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
学习难点：
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
温故知新填表：
性质
判定方法
边：
角：
对角线：
对称性：
1.
2.
3.
二.学习新知
自学教材58-59页，落实：
正方形
1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：
BE+DF=AE.
2.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE=AE，求证：
AF平分∠DAE.
3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.
如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
OE=OF．
变形：
1．正方形的定义：
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．
2．正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；
四条边都______且__________________；
正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．
3．正方形的判定：
（1）____________________________________的平行四边形是正方形；
（2）____________________________________的矩形是正方形；
（3）____________________________________的菱形是正方形；
（4）对角线________________________________的四边形是正方形
4．如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG
⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F.求证：
BF=CE.
特殊平行四边形测试卷
（1）
一、精心选一选（每小题3分，共24分）
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
2．下列命题中，错误的是（）
A．有一个角是直角的菱形是正方形B．三个角都相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相平分且相等D．菱形的对角线互相垂直平分
3．如图，顺次连结矩形ABCD各边中点，得到菱形EFGH，这个由矩形和菱形所组成的图形（）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．没有对称性
4．如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，AE交CD于点F。
那么，∠AFC＝（）
A．112.5°
B．120°
C．135°
D．150°
5．菱形相邻两角的比为1∶2，那么菱形的对角线与边长的比为（）
A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．1∶
∶2D．1∶
∶1
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）
A.3B.3.5
C.2.5D.2.8
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（）
A．5厘米B．10厘米C．7.5厘米D．不能确定
第8题
第7题
第6题
8．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF＋EG等于（）
A．
B．
C．aD．2a
二、填一填（每小题3分，共21分）
9．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，将矩形ABCD沿直线AF对折，使B点落在CD边上的E点处，则∠CFE＝________。
11．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB,则∠EBC＝________。
12．若菱形的两条对角线长是方程x2－8x＋15＝0的两个根，则该菱形的面积等于________。
13．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝________。
14．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是_______cm2。
15、如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3
③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、耐心做一做（本题有8小题，共55分）
16.（6分）矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.
四边形OCED是菱形.
17（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：
△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？
请说明理由.
18.（7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°
得到正方形A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结AA’、CE.
（1）△ADA’≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.
19．（7分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
（1）求证:
BD=EC;
（2）若∠E=50°
求∠BAO的大小.
20.（7分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上
.
（1）求证：
CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
21.（7分）如图，在矩形
中，对角线
的垂直平分线
与
相交于点
与
相较于点
，与
相较于
，连接
。
四边形
是菱形；
（2）若
求MD的长。
22.（7分）已知：
如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证AM=DF+ME。
特殊的平行四边形测试
（2）
A级 基础题
1．（2013年四川宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
2．（2013年四川巴中）如图4 3 35，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24B．16C．4
D．2
图4 3 35
3．（2013年海南）如图4 3 36，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
图4 3 36 图4 3 37 图4 3 38 图4 3 39
4．（2013年内蒙古赤峰）如图4 3 37,4×
4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
A．S四边形ABDC＝S四边形ECDFB．S四边形ABDC<
S四边形ECDF
C．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2
5．（2013年四川凉山州）如图4 3 38，菱形ABCD中，∠B＝60°
，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
6．（2013年湖南邵阳）如图4 3 39，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°
得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形．
7．（2013年宁夏）如图4 3 40，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
DF＝DC.
图4 3 40
8．如图4 3 41，在△ABC中，∠B＝90°
，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：
四边形ACFD是菱形．
图4 3 41
9．（2013年辽宁铁岭）如图4 3 42，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
图4 3 42
B级 中等题
10．（2013年四川南充）如图4 3 43，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°
，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12B.24C.12
D.16
图4 3 43 图4 3 44 图4 3 45
11．（2013年内蒙古呼和浩特）如图4 3 44，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．
12．（2013年福建莆田）如图4 3 45，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．
13．（2013年山东青岛）已知：
如图4 3 46，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
图4 3 46
C级 拔尖题
14．（2013年内蒙古赤峰）P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°
AD=240m，BC=270m，P从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走，Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步。
P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD（P、Q二人所在的位置为P、Q点）是平行四边形？
（6分）
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