.
（2）由余弦定理，得cosA＝
.在△ADC中，AD＝
，CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cosA＝
，于是CD＝
.
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），α∈
.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转
，交单位圆于点B（x2，y2）．
（1）若x1＝
，求x2；
（2）过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1、S2，且S1＝
S2，求tanα的值．
解：
（1）因为x1＝
，y1＞0，所以y1＝
＝
.所以sinα＝
，cosα＝
.所以x2＝cos
＝cosαcos
－sinαsin
＝－
.
（2）S1＝
sinαcosα＝
sin2α.
因为α∈
，所以α＋
∈
.
所以S2＝－
sin
cos
＝－
sin
＝－
cos2α.
因为S1＝
S2，所以sin2α＝－
cos2α，即tan2α＝－
.
所以
＝－
，解得tanα＝2或tanα＝－
.
因为α∈
，所以tanα＝2.
题型二根据图形选择适当的方法解题
例2如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON＝60°，现要铺设三条下水管道OA、OB、AB（其中A、B分别在OM、ON上），若下水管道的总长度为3km.设OA＝a（km），OB＝b（km）．
（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；
（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为
km，到点O的距离PO为
km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？
若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
解：
（1）∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b.
∵∠MON＝60°，
由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos60°.
∴（3－a－b）2＝a2＋b2－ab.
整理，得b＝
.
由a＞0，b＞0，3－a－b＞0，及a＋b＞3－a－b，a＋3－a－b＞b，b＋3－a－b＞a，得0＜a＜
.
综上，b＝
，0＜a＜
.
（2）以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
∵PH＝
，PO＝
，∴点P
.
假设AB过点P.
∵A（a，0），B
，即B（
·
，
·
），
∴直线AP的方程为y＝
（x－a），
即y＝
（x－a）．
将点B代入，得
·
＝
.
化简，得6a2－10a＋3＝0.
∴a＝
∈
.
答：
下水管道AB能经过污水总管的接口点P，a＝
（km）．
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（km）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）?
解：
设∠AMN＝θ，在△AMN中，
＝
.
因为MN＝2，所以AM＝
sin（120°－θ）.
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）.
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝
sin2（120°－θ）＋4－
sin（120°－θ）cos（60°＋θ）
＝
sin2（θ＋60°）－
sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4
＝
[1－cos（2θ＋120°）]－
sin（2θ＋120°）＋4
＝－
[
sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋
＝
－
sin（2θ＋150°），θ∈（0，120°）.
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2
.
答：
设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
题型三利用图象处理解析几何问题
例3如图，圆O与离心率为
的椭圆T：
＋
＝1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d
＋d
的最大值；
②若3
·
＝4
·
，求l1与l2的方程．
解：
（1）由题意知
＝
，b＝1，c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝1，c＝
，可知椭圆C的方程为
＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.
（2）①设P（x0，y0），
因为l1⊥l2，则d
＋d
＝PM2＝x
＋（y0－1）2.
因为
＋y
＝1，
所以d
＋d
＝4－4y
＋（y0－1）2＝－3
＋
.
因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－
时d
＋d
取得最大值为
，此时点P
.
②设l1的方程为y＝kx＋1，
由
解得A
；
由
解得C
.
把A、C中的k置换成－
可得B
，D
，
所以
＝
，
＝（－
，
），
＝
，
＝
.
由3
·
＝4
·
，得
＝
，
解得k＝±
，
所以l1的方程为y＝
x＋1，l2的方程为y＝－
x＋1，
或l1的方程为y＝－
x＋1，l2的方程为y＝
x＋1.
在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？
请证明你的结论．
（1）解：
令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0，则实数b的取值范围是b∈（－∞，0）∪（0，1）．
（2）解：
设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b；
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1，
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－（b＋1）y＋b＝0.
（3）证明：
假设圆C过定点（x0，y0），（x0，y0）不依赖于b，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x
＋y
＋2x0－y0＋b（1－y0）＝0，（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1－y0＝0，结合（*）式得
x
＋y
＋2x0－y0＝0，解得
或
经检验知点（0，1），（－2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．
题型四利用图象解函数综合问题
例4已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋c（其中c<3），其导函数y＝h′（x）的图象如图，f（x）＝6lnx＋h（x）．
（1）求函数f（x）在x＝3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间
上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y＝－x，x∈（0，6]的图象总在函数y＝f（x）图象的上方，求c的取值范围．
解：
（1）由已知，h′（x）＝2ax＋b，其图象为直线，且过（0，－8）、（4，0）两点，∴h′（x）＝2x－8，∴
h（x）＝x2－8x＋c，∴f（x）＝6lnx＋x2－8x＋c，
∴f′（x）＝
＋2x－8，∴f′（3）＝0，
∴函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0.
（2）f′（x）＝
＋2x－8＝
，
∵x>0，
x
（0，1）
1
（1，3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，＋∞），f（x）的单调递减区间为（1，3）．
要使函数f（x）在区间
上是单调函数，则
解得
.
（3）由题意，－x>f（x）在x∈（0，6]上恒成立，得－x>6lnx＋x2－8x＋c在x∈（0，6]上恒成立，即c<－x2＋7x－6lnx在x∈（0，6]上恒成立，设g（x）＝－x2－6lnx＋7x，x∈（0，6]，则c＋7＝
＝
.∵x>0，∴当x∈
时，g′（x）>0，g（x）为增函数；当x∈
和（2，＋∞）时，g′（x）<0，g（x）为减函数，∴g（x）的最小值为g
和g（6）的较小者．
g
＝－
－6ln
＋7×
＝
－6ln
，
g（6）＝－36－6ln6＋42＝6－6ln6，
g
－g（6）＝
－6ln
＋6ln6＝
＋12ln2>0，
∴g（x）min＝g（6）＝6－6ln6.
又已知c<3，∴c＜6－6ln6.
设函数f（x）＝ax2＋ex（a∈R）有且
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