关于层次分析法的例题与解.docx
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关于层次分析法的例题与解
旅游业发展水平评价问题
摘要
为了研究比较两个旅游城市、的旅游业发展水平，建立层次分析法数学模型，对两个旅游城市、的旅游业发展水平进行了评价.
首先，通过对题目中的图1、表1进行了分析与讨论，根据层次分析法，建立了目标层、准则层和子准则层、方案层四个层次，通过同一层目标之间的重要性的两两比较，得出判断矩阵,利用编程对每个判断矩阵进行求解.
其次,用软件算出决策组合向量，再比较决策组合向量的大小，由“决策组合向量最大”为目标,得出城市的决策组合向量为0.4325，城市组合向量为0.5675.
最后，通过城市旅游业发展水平与旅游城市旅游业发展水平的决策组合向量比较，得出城市的旅游业发展水平较高.
关键词层次分析法旅游业发展水平决策组合向量
1.问题重述
本文要求分析两个旅游城市旅游业发展水平,并且给出了两个城市各方面因素的对比，如城市规模与密度，经济条件，交通条件，生态环境条件，宣传与监督，旅游规格，空气质量，城市规模，人口密度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP，外贸依存度，市内外交通，人均拥有绿地面积，污水集中处理率，环境噪音，国内外旅游人数，理赔金额，立案数量，A级景点数量，旅行社数量，星级饭店数量.建立数学模型进行求解.
2.问题分析
本文要求分析两个旅游城市旅游业发展水平，在对两个城市的分析中，发现需要考虑因素较多，第一、城市规模与密度，包括城市规模与人口密度.第二、经济条件，包括外贸依存度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP.第三、交通条件，包括市内外交通.第四，生态环境条件包括空气质量，人均绿地面积，污水处理能力，环境噪音.第五、宣传与监督，包括国内外旅游人数，游客投诉立案件数.第六、旅游规格，包括A级景点个数，旅行社个数，星级饭店个数，这就涉及到层次分析法来估算各个指标的权重，评出最优方案.具体内容如下：
（1）本文选择了对两个旅游城市旅游业发展水平有影响的19个指标作为评价要素,指标规定如下：
城市规模：
城市的人口数量.
人口密度：
单位面积土地上居住的人口数.是反映某一地区范围内人口疏密程度的指标.人口影响城市规模.人口密度越大城市规模也就越大.
人均GDP：
即人均国内生产总值.
人均城建资金：
即用于城市建设的资金总投入.
第三产业增加值：
增加值率指在一定时期内单位产值的增加值.即第三产业增加值越高越能带动城市经济的发展.
税收GDP：
税收是国家为实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定，通过税收工具强制地、无偿地征收参与国民收入和社会产品的分配和再分配取得财政收入的一种形式.
外贸依存度：
即城市对于外贸交易的依赖程度.
市内交通：
即城市市区交通情况.
市外交通：
即城市郊区交通情况.市内交通与市外交通对于城市交通条件具有同等的重要性.
空气质量：
即城市总体空气质量情况.空气质量越好对于城市生态环境就越好.
人均绿地面积：
即反应城市绿化面积以及人口密度的比值关系.
污水处理能力：
城市污水处理水平.
环境噪音：
城市环境噪音情况.
国内外旅客人数：
国内外来旅客一年总人数.人数越多说明宣传与监督就越好.
理赔金额：
即立案后需要赔付的资金数.
立案件数：
即在旅游时发生违法事件后公安部立案的件数.
A级景点数量：
即A级景点的个数.A级景点越多,越能带动旅行社数量以及星级饭店数量,则旅游规格越大.
旅行社数量：
即旅行社的个数.
星级饭店数量：
即星级饭店在旅游景点的个数.
（2）用层次分析法建立模型，根据判断矩阵，利用软件，算出每个判断矩阵的特征向量、最大特征根、一次性指标，再结合随机一次性指标，得出每个指标的特征向量.
（3）用
（2）得出的数据，运用软件算出两个城市的决策组合向量，做比较.
3.模型假设
1.假设两个城市、的人口流动不大.
2.假设两个城市、的各项指标短期内不会发生太大的改变.
4.符号说明
:
表示目标层；
:
表示准则层第个指标的名称；
:
表示子准则层第个指标的名称；
:
表示方案层第个指标的名称；
:
表示准则层对目标层的特征向量组成的矩阵；
:
表示子准则层对准则层的特征向量组成的矩阵；
:
表示方案层对子准则层的特征向量组成的矩阵；
:
表示一次性指标；
:
表示随机一次性指标；
:
表示决策组合向量.
5.模型建立与求解
5.1根据层次分析法分析以及题目中的图1可以建立如下表5-1的层次分析结构，并构造两两比较判断矩阵
目标层
城市旅游业发展水平
准则层
城市规模与密度
经济条件
交通条件
生态环境条件
宣传与监督
旅游规格
子准则层
城市规模
人口密度
人均GDP
人均城建资金
第三产业增加值GDP
税收GDP
外贸依存度
市内交通
市外交通
空气质量
人均绿地面积
污水处理能力
环境噪音
国内外旅游人数
理赔金额
游客投诉立案件数
A级景点个数
旅行社个数
星级饭店个数
方案层
城市
城市
表5-1
在递阶层次结构中，设上一层元素为准则层，所支配的下一层元素为……，要确定元素……对于准则层相对的重要性即权重，可分为两种情况：
（1）如果……对的重要性可定量，其权重可直接确定；
（2）如果问题复杂，……对的重要性无法直接定量，而是一些定性的，确定权重用两两比较方法.
（3）其方法是，对于准则层，元素和哪一个更重要，重要多少，按1-9比例标度对重要性程度赋值.表5-2中列出了1-9标度的含义.
标度
含义
1
表示两个元素相比，具有同样的重要性
3
表示两个元素相比，前者比后者稍重要
5
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
7
表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
9
表示两个元素相比，前者比后者极端重要
2,4,6,8
表示上述相邻判断的中间值
倒数
若元素和的重要性之比为，那么元素和重要性之比为=
表5-2
对于准则，个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵=，表示其中表示和对的影响之比，显然0，=，=1，由的特点，称为正互反矩阵.
通过两两判断矩阵用方根法求出他们的最大特征根和特征向量，求法如下：
1.判断矩阵每一行元素的乘积，其中，=1,2…,.
2.计算的n次方根，=.
3.对向量归一化，即，则为所求的特征向量.
4.计算判断矩阵的最大特征跟，，式中表示的第个元素.
5.定义为矩阵的一致性指标，为了确定的不一致性程度的容许范围，需要找出衡量的一致性指标的标准.引入随机一致性指标.
平均随机一致性指标是这样得到的；对于固定的，随机构造正互反矩阵，其中是从1，2，……9,中随机抽取的，这样的是最不一致的，取充分大的样子（500个样本）得到的最大特征跟的平均值，定义，对于不同的得出随机一致性指标的数值如下表5-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
表5-3
表中=1,2时=0，是因为1,2阶的正互反矩阵总是一致阵.
令，称为一致性比率，当<0.1时，本文认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性.最后通过计算得出下表5-4（其中表示准则层的特征向量中的第个数值，表示指标层的特征向量第个准则对第个指标的数值）
层次
层次
…
层次总排序权值
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
表5-4
层次总排序一致性检验的方法
若时，所以认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性.
5.2根据层次分析法求出各个指标的权重
依据题目中的表1分析，对本题做出其中一种假设：
（1）经济条件和交通条件重要性相当，生态环境条件最重要，旅游规格、宣传与监督、城市规模与密度依次次之.
（2）在城市规模与密度中，城市人口比人口密度重要一点.
（3）在经济条件中，第三产业增加值第一重要，其次是人均，税收、外贸依存度、人均城建资金依次次之.
（4）在交通条件中，市内交通和市外交通的重要性相当.
（5）在生态环境条件中，空气质量第一重要，其次是人均绿地面积，污水处理能力、环境噪音依次次之.
（6）在宣传与监督中，国内外旅游人数第一重要，理赔金额、游客投诉立案件数重要性相当.
（7）在旅游规格中，级景点个数第一重要，星级饭店个数、旅行社个数依次次之.
（8）对于城市规模，城市比城市的重要性小一些；对于人口密度，城市比城市的重要性明显重要；对于人均，城市比城市的重要性稍重要；对于人均城建资金，城市比城市的重要性稍微重要；对于第三产业增加值，城市比城市的重要性小一些；对于税收，城市比城市的重要性稍小一点；对于外贸依存度,城市比城市的重要性稍重要；对于市内交通，城市比城市的重要性稍重要一点；对于市外交通，城市比城市的重要性比稍重要小一点；归于空气质量，城市比城市的重要性相当；对于人均绿地面积，城市比城市的重要性稍重要；对于污水处理能力，城市比城市的重要性稍重要一些；对于环境噪音，城市比城市的重要性相当；对于国内外旅游人数，城市比城市的重要性稍重要；对于理赔金额，城市比城市的重要性稍重要一些；对于游客投诉立案件数，城市比城市的重要性稍重要；对于级景点个数，城市比城市的重要性稍重要小一些；对于旅行社个数，城市比城市的重要性稍重要小一些；对于星级饭店个数，城市比城市的重要性相当.
根据上述分析，按1-9比例标度对准则层对目标层、子准层对准则层、目标层对子准则层的重要程度进行赋值，构造准则层对目标层的判断矩阵、子准则层对准则层的判断矩阵、方案层对子准则层的判断矩阵.
准则层对目标层的判断矩阵
利用软件（附录1）求得
最大特征值
特征向量
一致性检验比率
所以矩阵满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录2）求得
最大特征值
特征向量为
因为当时，,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录3）求得
最大特征值
特征向量
一致性检验比率
所以矩阵满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录4）求得
最大特征值
特征向量为
因为当时，,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录5）求得
最大特征值
特征向量
一致性检验比率
所以矩阵满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录6）求得
最大特征值
特征向量
一致性检验比率
所以矩阵满足一致性检验.
子准则层对准则层的判断矩阵
利用软件（附录7）求得
最大特征值
特征向量
一致性检验比率
所以矩阵满足一致性检验.
方案层对子准则层的判断矩阵
方案层对子准则层的判断矩阵
利用软件（附录8）求得
最大特征值
特征向量为
因为当时，,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.
方案层对子准则层的判断矩阵
利用软件（附录8）求得
最大特征值
特征向量为
因为当时，,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.
方案层对子准则层的判断矩阵
利用软件（附录8）求得
最大特征值
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