机械振动概念和运动方程Word文档下载推荐.docx
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，由初始条件决定，w由固有参量k和m决定，与初始条件无关，故称为振子的固有频率。
简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要
就相同，所以t是决定振动状态的物理量，称为位相。
w是位相的变化速率，单位是弧度/秒。
由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动。
举例：
单摆的摆动
弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统，称为谐振子。
由于
弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是
E^1kx^1kA2cos2（t亠匸），p_-mAsin（，t亠二）22
Ek—=1m■2A2sin2（t）,2=k
2m2m
E=EpEk」kA2
P2
振动的合成与分解
1同方向、同频率的两简谐振动的合成（矢量法）
x=片+x2+X3=j_Ae'
^+A2e1^+4e题le卿
I.j2-ji=2kp,k=0,北1,2,|l（则A二A+A?
，即当两分振动的相位差为P的偶数倍时，
合振动的振幅为两分振动振幅之和。
II.j2-j1=（2k+1）p,k=0,北1,2,|H则A=A-A，即当两分振动的相位差为p的奇
数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。
III.j2-ji为一般值，则Ai-A>
<
A<
Ai+A?
。
2同方向、不同频率的两简谐振动的合成（三角函数法）一参见拍
3振动方向垂直的两谐振动的合成（三角法、计算机法）
x=Acos（wt+j1）,y=A，cos（wt+j2）
x
一=coswtcosj1-sinwtsinj△cosj
A
丄cos
2=coswtcosj1cosj
1=coswtcosj2cosj
1^y=coswtcosj22-A2inwtsinj1cosj
1-sinwtsinj2cosj
X
cosj
y
2-cosj1=sinwtsin（j2-j1）?
2
x2.
2cosj
A2
y2.
2+2cosj
1-2好cosj1cosj2=sin2wtsin2（j
2-j1）
x..sinj
2=coswtcosj
4sinj2-sinwtsinj
—sinj
4=coswtcosj2sinj4-sinwtsinj
T
u?
?
y-.Qp
21
mIni
sisi
12
2-ysinj4=coswtsin（j2-j4）?
A2'
'
2.丄y2xy
cosj2+atcosji-2-Asinj“sinj2
^vi
=coswtsin2
笃+卷-2x^cos（2-j1）=sin2（jA2AAA2
i）
运动也具有周期性,
其轨迹称为李萨
I.
若j2-
j1=
0,则
y=xA
II.
若j2
-j1
=p,y=
A2:
-x
A1
III.
=2,y=
xy彳
A2+A2=1
AA
IV.
笙y
2，y
=—-1
A2a21
若频率比为简单整数比，则合成曲线是稳定的封闭的，
如图形。
—、单自由度体系的小振动
单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置。
1.自由振动
势能V（q）在平衡位置q=q0附近展开得
（q—q°
）
d2V
（q-q。
）2HI
的驻点，在驻点取得的函数值为驻值，而极值点
X。
是指函数在邻域
Xo—,Xo，）内,
fxo是函数的最大值或最小值），第2项中的一阶导数为零。
记
―扣2
lot
■i
q.；
q■:
mi
T=-a（q）q2:
-m*2,其中m=a（q0）
于是拉氏函数L=T-V=-mX2--kx2。
代入拉氏方程得
mXkx二0或X'
2x=0
其中「二
为振动频率。
上述方程有自由振动解：
x=Acos「t•'
A为振幅，'
'
为
初相位。
附注：
拉格朗日方程
（1-1）（1-2）
m^=XiEyi=Y,mZI=Z（i=1,2」ll,N）
■*）]mN（xN-yN■zN）m（x2y2z2）
22im
如果讨论是“保守力系”（指力学系统中的力所作之功，仅与起末位置有关，而与具体路径
无关。
具有此性质的力场，一定可以引入一位置函数
V（X,y,z），而此力所作之功为
Fxdx•Fydy-Fzdz二-dV，按功与路径无关的性质,
dV应为一全微分
dV二上dxVdy—dz，两式比较得工j=excycz
:
VVV
，Y,zi，由此得到
仪点y纥
d（x）U
=m=mX
dtdt
4/13
（1-6）
已由（1-1）得
疋，
一cd0
—=u,
idtI別i
eV门dfET
十—=u,
cyidti戲i
引入拉格朗日函数
l=L（x,y,,x,y,zJxlylZUl,xl,yl,z今tv可将
（1-6）式写成
将方程（1-7）的直角坐标
dn
£
忆换成广义坐标，即得描述具有
L
—=0（i=1,2川，N）（1-7）
s个自由度系统的拉氏方程。
.:
…八（i“2川‘a
2.阻尼振动
当速度不大时，阻力与速度的一次方成正比，方向相反，即
R=-bX
运动方程变为mX+kx=-bX，即
（1-8）
---L'
，其中
br
其中P=—，令x=Ae兀，代入（1-8），得九2+Pk+⑷2=0,解出九m
-it'
（1-9）
x二Ae2cos，t
当存在阻尼时，解是随时间减小的。
3.受迫振动
若系统除存在阻尼外，还有固有性外力（策动力），F（t）=Fcos「t，则运动方程变为
x+bx+kx=Fcos4
（1-10）
即X+:
X+•'
2x=fcoSt
其中f=F，式（1-10）的通解可写成一个特解与相应的齐次方程的通解（1-9）之和。
后者随时
m
间衰减，逐渐趋向于零。
其特解试探形式为
x=Acos
代入（1-10）得
A2_i】2cos'
」_-'
sin=f
L-可解得
■■2-J?
sin「工；
cos'
二0
2__22
-2-「2i：
（cos2'
-：
sinj亠⑴2-「2sin2"
亠屮:
］sin2'
（险）cos2屮十（Pc（sin2寧=（fij2-Q2）+（险$
sin2；
"
亠［!
■■■'
.isin2'
-
22222=■■-■■—尹
（02惟2）
）-险CosW［if"
当-■■时，发生共振，振幅为
o
PQ
举例1：
弦振动方程
l迈co2q2八sin屮丿V0>
T（xlx）cos：
2-T（x）cos：
［=0
张力在u轴方向的分量为
举例2：
平面电磁波的波动方程
第二个方程指磁场强度
I（传导电流的代数和），对静态场
/第一个方程指?
时变磁场激发感应电场和自由电荷激发库仑电场。
H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流
■=0，从而得\D=0，是
—-0，它化为安培环路定律。
此方程也表明磁场存在着漩涡源J。
第三个方程的D包括.:
t
库仑电场，也包括感应电场，感应电场不是起源于电荷，取无散场。
三、多自由度体系的小振动自由振动
k订詡、
k0R==
2帆叽。
1
Vk、,iqq-
2一”
T=J容（q）q枇
2•妆
将a-.（q）在平衡位置展开，只保留零阶项，并记
于是体系的拉氏函数为
L=T-V-k：
qq：
2..I-
kf；
q-：
=0（因为q:
、q是相互作用的
写成矩阵形式为:
行列式为零，即
det（-m：
「k：
”0（1-13）
该方程称为本证值方程，从它可解出s个，可以证明它们全是正的。
对每个•・2,存在一••两个频率值，所以解可写成
q=A®
（e.护也+叮加）或?
=A（㈤cos（们t+@）
考虑方程（1-13）解得S个非负••值就行了。
将它们依次记为•alllm,并称之为简正频率。
对每一个简正频率「，可从方程（1-12）解出一组振幅A1i,||（,Asi，它们对应于一组广义
坐标的解
或简记为
如果把A'
（i=1」i|,s）看作是s维笛卡尔坐标空间中的矢量，则可以引入它们以M?
（或K?
为度规矩阵的内积
和矢量川）的长度
与?
对应的单位矢量为
）=用!
〔A'
Am,,'
相应的单位矢量是正交归一的，即
其中、im为克龙尼克（Kroneck）记号。
方程（3-11）的通解为各频率成分（3-14）的线性叠加，即
了=乞Cl*）』妙ClCOS®
itZ）（1-15）
ll
引入简正坐标
l=Gcos（‘ltJ（I=1,||（,s）
每个简正坐标以单一的简正频率振荡。
于是方程（1-15）可写成矩阵形式
Q1、
（ty
人A2川As、
Q2
■r
卡
=（A）A（s））
-2
q
=
A21A22111A2s
kri**d七
IqsJ
<
s丿
lAs1As2川AssJ
s>
可简记为或？
=，即广义坐标与简正坐标相差一线性变换。
可以证明矩阵A使矩阵M?
和K同时对角化
根据以上两式，体系的动能和势能可分别写成
2222l
于是拉氏函数
L=T-VJl?
ll2
2i2i
代入拉氏方程，得
叫j]=0或1=0
其中'
[为简正频率。
上面的方程表明若一开始就采用简正坐标，则运动方程是退耦的。
第十二章机械波
声波需要介质才能传播，真空中不能传播声波；
电磁波却可以在真空中传播；
光即具有粒子性也有波动性。
虽然各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，即它们都有类似的波动方程。
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，波分为横波（transversewave）和（Iongitudinalwave）。
声波是纵波，又称疏密波；
琴弦波、电磁波（电场、磁场和波的传播方向互相垂直）
是横波。
横波和纵波的形成条件：
振源+弹性介质
1•沿直线传播的简谐波
对于质点很多的多自由度体系，或者单质点多自由度,要用偏微分方程来描述波动方程。
沿x轴正方向传播的平面简谐波，如图所示,
在原点0处有一质点作简谐振动，方程为
y=Acos（tW）
沿x轴正方向上取一点P，它距0点的距离为x，当振动从0点传播到P点时，P点在t时刻的位移为
2.平面波和球面简谐波
若在空间的任一方向k传播的平面波，则s=Acos「t-k亠仃］。
平面波的等相位面是
scost-krr
它的振幅随球面半径增大而减小。
3.简谐波的波动方程
（1）.沿直线传播的波动方程
分别对y=Acosft-kx）关于t和x的偏导数
（2）
.平面简谐波波动方程
4.叠加原理
人=Acos（他t—kjZ）
设有两列波，一个沿z轴
x2=A2cos（^2t-k2y
传播，一个沿y轴传播，它们在某点相遇，波的叠加原理
指出：
（1）.除相遇外，各点的振动仍由上式给出。
（2）.在相遇点，几列波互不影响，各自给出自己的一份贡献，使该点作合成运动。
若对几列波给予一定的条件，可使得叠加结果简单（几列简谐波在相遇点合成仍为谐振
动）、稳定（相遇点的振幅不随时间变化）。
叠加原理并不是普遍成立的，只有当波的强度较
小时，它才正确。
这些条件是
1几列波振动方向相同。
2几列波的频率相同。
3几个波源的相位差恒定。
上述特殊条件下的叠加称为“相干叠加”或“干涉”。
对于以上参与合成的几列波所加的条
件称为“相干条件”。
令
Xi=Acost10-kri,X2二Acost-kr2
x=xi+X2=Acosgt+®
io—kri）+A2cos佝t+®
2o—ka）
x=A,||coscos「i0—krii亠sintsin扁一匕！
亠A2[costcos20—kr2
sintsin2^kr2]=cos-t||A]cosi0—kriAcosN'
o—ka
+sincotAsin（咒0-k*”Asin（单20_kr2）]
令Acosk-krii亠Acos\o-=Acos0
Asin（®
i0-kri）+Asin（®
20_kr2）=Asin%
A=A?
A2_2aiA2cos（20-io-k（r2-rJ
Aicosi0-kriA2cos20-鶴
Asini0-kriA2sin；
0-kr2
■'
=20-10-k（r2-ri）
A可以通过矢量的加法来求得：
A2=（Acos巴+A2cos®
2f+（A|sin巴+Asin^2）
二A：
cos1Acos笃2A）Aecos1cos2
A2sin2】A；
sin222A|A2sin\sin:
二A2A2AiA2cos〔cos:
2sin〔sin:
二AA；
2AiA2cos（1-2）
注：
波长或相位波长是指波在一个振动周期内沿波的传播方向传播的距离。
或者说波在传播
方向上空间相位kz变化2-所经历的距离。
5.驻波
在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相
反方向传播时就叠加形成驻波。
驻波方程：
xx
yy1=Acos^It,y2=Acos2..It
（1）振幅的空间分布
波腹：
cos2兀一=1二2兀一=±
n兀二x=±
—九=±
2n—,n=0,12川
扎九24
波腹间距：
x=2n1才-2肓=2,n=0,1,2川
xx下3-
波节：
cos20=2（2n1）x-二（2n1）,n=0,1,2,川
24
波节间距：
厶x=2n，1*1^—2n・1二=£
⑵相位的空间分布
在某一时刻t,cos2>
t是确定的，因此相位由cos2的符号确定。
在波节两侧的点振
动相位相反，而在相邻两个波节之间各个点振动相位相同。
（3）能量的空间分布
单列直线波单位时间穿过固定点x的能量密度I：
sin2（「t〒kx），对于驻波有
1=1』p_sin2（t-kx）-sin2（'
tkx）
=sintcoskx-sinkxcost][sintcoskxsinkxcost
二-4sintcoskxsinkxcos-t=-2sin2-tsinkxcoskx
无论在波节点coskx二0和波腹点coskx二1，都有1=0。
6.半波损失
当反射波相对于入射波有p的相位突变的现象称为半波损失（half-waveloss）。
般机械波在两种介质的分界处反射时是否会发生半波损失现象与波在两种介质中的
传播速度和两种介质的密度决定。
其成绩称为波阻（waveresistanee）:
rv。
波阻较大的介质
称为波密介质，反之，称为波疏介质。
定量研究表明，当波从光疏介质垂直入射到光密介质时，会发生半波损失现象，在入射点处形成波节；
反之，不发生半波损失现象，在入射点处形成波腹。
7.多普勒效应
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