机械振动概念和运动方程Word文档下载推荐.docx

1、;：，由初始条件决定， w由固有参量k和m决定，与初始条件无关，故称为振子的 固有频 率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要就相同，所以 t 是决定振动状态的物理量， 称为位相。w是位相的变化速率， 单位是 弧度/秒。由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个 旋转矢量来描述简谐振动。举例：单摆的摆动弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统， 称为谐振子。由于弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是E1kx1kA2 cos2（ t 亠匸），p _ -m A si n（，t 亠二） 2 2Ek =1 m 2A2sin2（ t ）, 2 = k2m

2、2 mE = Ep EkkA2P 2振动的合成与分解1同方向、同频率的两简谐振动的合成 （矢量法）x =片 +x2 +X3 = j_Ae + A2e1 + 4e题 le卿I.j 2 - j i = 2kp ,k = 0, 北1, 2,|l（则A二A+A?，即当两分振动的相位差为 P的偶数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之和。II.j 2 - j 1 = （2k +1）p ,k = 0,北1, 2,|H则A = A - A，即当两分振动的相位差为 p的奇数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。III.j 2-j i 为一般值，则 Ai - A AT （x lx）cos ： 2 -T （x）cos

3、 ： = 0张力在u轴方向的分量为举例2：平面电磁波的波动方程第二个方程指磁场强度I（传导电流的代数和 ），对静态场/第一个方程指?时变磁场激发感应电场和自由电荷激发库仑电场。 H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流 = 0，从而得 D = 0，是-0，它化为安培环路定律。 此方程也表明磁场存在着漩涡源 J。第三个方程的D包括 .:t库仑电场，也包括感应电场，感应电场不是起源于电荷，取 无散场。三、多自由度体系的小振动 自由振动k订詡、k0R = =2帆叽。1V k、,iqq -2 一”T = J 容（q）q枇2 妆将a-.（q）在平衡位置展开，只保留零阶项，并记于是体系的拉氏函数为L =

4、T -V -k：qq：2 .I-kf；q-： =0（因为q :、q 是相互作用的写成矩阵形式为:行列式为零，即det（-m： k：”0 （1-13）该方程称为 本证值方程，从它可解出s个，可以证明它们全是正的。对每个2,存在一两个频率值，所以解可写成q=A（ e.护也+叮加）或?=A（cos（们t +）考虑方程（1-13）解得S个非负值就行了。将它们依次记为 alllm ,并称之为简正频率。对每一个简正频率 ，可从方程（1-12）解出一组振幅 A1i,|（,Asi，它们对应于一组广义坐标的解或简记为如果把A （i =1i|,s）看作是s维笛卡尔坐标空间中的矢量，则可以引入它们以 M?（或K?为

5、度规矩阵的内积和矢量川）的长度与?对应的单位矢量为）=用!A,Am ,相应的单位矢量是正交归一的，即其中、im为克龙尼克（Kroneck）记号。方程（3-11）的通解为各频率成分（3-14）的线性叠加，即了 =乞 Cl*）妙Cl COSitZ） （1-15）l l引入简正坐标l =Gcos（ lt J （I =1,|（,s）每个简正坐标以单一的简正频率振荡。于是方程 （1-15）可写成矩阵形式Q1、（t y人A2川As、Q2r卡=（A）A（s）-2q=A21 A22 111 A2sk ri * * d 七Iqs J可简记为或？ = ，即广义坐标与简正坐标相差一线性变换。可以证明矩阵A使矩阵M?

6、和K同时对角化根据以上两式，体系的动能和势能可分别写成2 2 2 2 l于是拉氏函数L =T -V Jl ?ll22 i 2 i代入拉氏方程，得叫j =0 或1=0其中 为简正频率。上面的方程表明若一开始就采用简正坐标，则运动方程是退 耦的。第十二章机械波声波需要介质才能传播， 真空中不能传播声波； 电磁波却可以在真空中传播； 光即具有 粒子性也有波动性。 虽然各种类型的波有其特殊性， 但也有普遍的共性， 即它们都有类似的 波动方程。机械振动在弹性介质中的传播称为 机械波，波分为横波（transverse wave）和（Iongitudinal wave）。声波是纵波，又称疏密波；琴弦波、电磁

7、波 （电场、磁场和波的传播方向互相垂直 ）是横波。横波和纵波的形成条件：振源 +弹性介质1沿直线传播的简谐波对于质点很多的多自由度体系， 或者单质点多自由度, 要用偏微分方程来描述波动方程。沿x轴正方向传播的平面简谐波，如图所示,在原点0处有一质点作简谐振动，方程为y = Acos（ tW）沿x轴正方向上取一点 P，它距0点的距离为x， 当振动从0点传播到P点时，P点在t时刻的位移为2.平面波和球面简谐波若在空间的任一方向 k传播的平面波，则 s = Acost - k亠仃。平面波的等相位面是s cos t - k r r它的振幅随球面半径增大而减小。3.简谐波的波动方程（1）.沿直线传播的波

8、动方程分别对y = Acosf t - kx）关于t和x的偏导数（2）.平面简谐波波动方程4.叠加原理人=A cos（他t kjZ ）设有两列波 ，一个沿z轴x2 = A2 cos（2t -k2y传播，一个沿y轴传播，它们在某点相遇，波的叠加原理指出：（1）.除相遇外，各点的振动仍由上式给出。（2）.在相遇点，几列波互不影响，各自给出自己的一份贡献，使该点作合成运动。若对几列波给予一定的条件，可使得叠加结果简单 （几列简谐波在相遇点合成仍为谐振动）、稳定（相遇点的振幅不随时间变化 ）。叠加原理并不是普遍成立的， 只有当波的强度较小时，它才正确。这些条件是1几列波振动方向相同。2几列波的频率相同

9、。3几个波源的相位差恒定。上述特殊条件下的叠加称为“相干叠加”或“干涉” 。对于以上参与合成的几列波所加的条件称为“相干条件”。令Xi = A cos t 10 - kri ,X2 二 A cos t - kr2x = xi +X2 = A cosgt +io kri ）+A2 cos佝t +2o ka ）x = A, |cos cos i0kri i 亠 si nt sin 扁一匕！亠 A2cos tcos 20 kr2si n t sin 2 kr2 = cos -t | A cos i0kri AcosNoka+ sin cot Asin（咒0-k* ” A sin（单20_kr2）令

10、A cos k - kri i 亠 A cos o - =Acos 0A sin（i0-kri ）+Asin（20 _kr2 ）= Asin%A = A? A2 _ 2aiA2 cos（ 20 - io - k（r2 - rJAi cos i0 - kri A2 cos 20 - 鶴Asin i0 - kri A2sin ；0 -kr2 = 20 - 10 - k（r2 - ri）A可以通过矢量的加法来求得：A2 = （A cos巴 + A2 cos2 f +（A| sin巴 + A sin2）二 A： cos 1 A cos 笃 2A）Aecos 1 cos 2A2 sin2 】A；sin2

11、 2 2A|A2 sin sin :二A2 A 2AiA2 cos cos :2 sin sin :二A A； 2AiA2cos（ 1 - 2）注：波长或相位波长是指波在一个振动周期内沿波的传播方向传播的距离。 或者说波在传播方向上空间相位kz变化2-所经历的距离。5.驻波在同一介质中两列频率、 振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波， 在同一直线上沿相反方向传播时就叠加形成驻波。驻波方程：x xyy1 = Acos I t , y2 = Acos2. I t（1）振幅的空间分布波腹：cos 2 兀一=1二 2 兀一=n 兀二 x=九=2n , n = 0,12川扎 九 2 4波腹间距：x =2

12、 n 1才-2肓=2, n =0,1,2川x x 下 3-波节：cos2 0= 2 （2n 1） x -二（2n 1） ,n = 0,1,2,川2 4波节间距：厶x= 2 n，1 *12n1二=相位的空间分布在某一时刻t, cos2 t是确定的，因此相位由 cos2 的符号确定。在波节两侧的点振动相位相反，而在相邻两个波节之间各个点振动相位相同。（3）能量的空间分布单列直线波单位时间穿过固定点 x的能量密度I ： sin2（tkx），对于驻波有1=1p _ sin 2（ t -kx） -sin 2（ t kx）=sin tcoskx-sin kxcos t sin tcoskx sin kxc

13、os t二-4sin tcoskxsin kx cos -t = -2sin 2 -t sin kx coskx无论在波节点coskx二0和波腹点coskx二1，都有1=0。6.半波损失当反射波相对于入射波有 p的相位突变的现象称为半波损失 （half-wave loss）。般机械波在两种介质的分界处反射时是否会发生半波损失现象与波在两种介质中的传播速度和两种介质的密度决定。 其成绩称为波阻（wave resista nee） : r v。波阻较大的介质称为波密介质，反之，称为波疏介质。定量研究表明，当波从光疏介质垂直入射到光密介质 时，会发生半波损失现象，在入射点处形成波节；反之，不发生半波损失现象，在入射点处 形成波腹。7.多普勒效应