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四位分级法。

万以内的数：

例如：

4321，4001，4020，365

万以上的数：

5030010005读作五十亿三千零一万零五，410053000读作四亿一千零五万三千

9、整数的写法

“八十万三千二百”写作803200，“四十二亿三千万零三十”写作4230000030

10、整数的改写和近似数

（1）用“万”、“亿”作单位改写整数，划去4个0或8个0，同时加上“万”或“亿”字。

100000＝10万，30200000000＝302亿，43580＝4.358万，1350000000＝13.5亿

（2）近似数

①四舍五入法：

732890≈73万，1970084000≈20亿

②进一法：

一个油桶装油100千克，425千克需要多少个油桶？

（≈5桶）

③去尾法：

制一台机器用1.2吨钢材，现有39吨钢材，可以制作多少台机器？

（≈32台）

11、整数大小的比较

二、整数四则运算

1、整数加法：

a＋b＝c

性质：

加法交换律（a＋b＝b＋a）、加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

2、整数减法：

a－b＝c,则a＝b＋c,b＝a－c,c＝a－b

a＋b－c＝a－c＋b，a－b－c＝a－c－b，a＋（b－c）＝a＋b－c,

a－（b＋c）＝a－b－c（a>

b＋c）,a－b－c＝a－（b＋c）（a>

b＋c）

3、整数乘法：

a×

b＝c

乘法交换律（a×

b＝b×

a）、乘法结合律（a×

b）×

c＝a×

（b×

c）、

乘法分配律（a＋b）×

c＋b×

c

4、整数除法：

a÷

b＝c（b≠0）

0不能做除数，有余数除法（a÷

b＝c……d，余数一定小于除数）

b÷

c=a÷

c÷

b，a×

c×

b，a÷

c）=a÷

c，a÷

（b÷

b×

（a＋b）÷

c＋b÷

c，（a－b）÷

c－b÷

5、整数四则混合运算：

加法和减法被称为第一级运算，乘法和除法被称为第二级运算。

先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。

三、整数的整除性

整除：

在自然数范围内两个数相除，除得的商是整数而没有余数。

除尽：

两个数相除，所得的商是整数或有限小数，而没有余数。

整除只是除尽的一种特殊情况。

1、约数和倍数

数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

2、能被2、5等整除的数的特征

（1）一个数的个位上的数字能被2整除，那么这个数 

能被2整除。

（2）一个数的个位数能被5整除，那么这个数一定 

能被5整除。

3、奇数和偶数

能被2整除的数叫偶数（双数），不能被2整除的叫奇数（单数）。

（1）任意两个奇数的和或差，一定是偶数。

（2）任意两个奇数的积一定是奇数。

（3）任意两个偶数的和或差，一定是偶数。

（4）任意两个偶数的积，一定是偶数。

（5）一个奇数与偶数的和或差，一定是奇数。

（6）一个奇数与一个偶数的积，一定是偶数。

4、质数、合数与分解质因数

质数：

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫质数，质数也叫素数。

合数：

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。

0和1既不是质数，也不是合数。

在自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4。

质因数：

如果一个整数的约数是质数，这个约数就被称作这个整数的一个质因数。

每一个合数都可以写作几个质数相乘的形式，这个质数叫做这个合数的质因数。

分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

5、最大公约数与最小公倍数

（1）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

12和30的公约数有：

1、2、3、6；

12和30的最大公约数是6。

求最大公约数的一般方法：

分解质因数法。

例如18和24，18=2×

3×

3，24=2×

2×

3，共有的质因数2和3，所以它们的最大公约数2×

3=6

最大公约数性质：

两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

36和24的最大公约数是12

两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

例如36和48的最大公约数是12

互质数：

如果两个数的公约数只有1，那么这两个数叫做互质数（或互素数），或者说这两个数互质。

区分质数、质因数和互质数的含义。

①两个质数一定是互质数。

例如，2与7、13与19。

②一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。

例如，3与10、5与26。

③1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。

如1和9908。

④相邻的两个自然数是互质数。

如15与16。

⑤相邻的两个奇数是互质数。

如49与51。

⑥大数是质数的两个数是互质数。

如97与88。

⑦小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

如7和16。

⑧两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。

如357与715，357=3×

7×

17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

⑨两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。

如85和78。

85－78＝7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

⑩两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。

如462与221，462÷

221＝2……20。

（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；

其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12和8

12的倍数有12、24、36、48、60、72……，8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72……

可知，12和8的公倍数有24、48、72……，12和8的最小公倍数是24。

两个数的公倍数的个数是无限的，最小的一个被称为它们的最小公倍数，两个数没有最大公倍数。

求最小公倍数的一般方法：

例如15和21，15=5×

3，21=3×

7，共有的质因数3，21独有的质因数是7、15独有的质因数是5，所以它们的最小公倍数3×

5×

7=105。

最小公倍数的性质：

两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

4和10

两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

150是15和25的一个公倍数。

分数及其运算

一、分数的认识

1、分数：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数（单位“1”可以表示一个数、一个图形、一件物品、一个计量单位、也可以表示一个整体）。

在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；

表示有多少份的数，叫做分数的分子；

表示其中的一份的数叫做分数单位。

2、分数的种类：

真分数：

分子比分母小的分数。

假分数：

分子大于分母的分数。

带分数：

一个自然数和一个真分数合并而成的分数。

一个假分数，当分子是分母的倍数时，假分数可化为自然数。

当分母不能整除分子时，可以化为带分数。

3、最简分数：

分子、分母互质的分数。

4、分数的性质：

（1）分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

（2）分数的分子扩大（或缩小）若干倍，分母不变，那么分数值也扩大（或缩小）相同的倍数。

（3）分数的分母扩大（或缩小）若干倍，分子不变，那么分数值就缩小（或扩大）相同的倍数。

5、约分和通分：

（1）约分：

把一个分数化成同它相等的，但分子、分母都比较小的分数。

通常约分后应得到最简分数。

约分的方法：

①逐步约分：

用分子和分母的公约数（1除外）去除分子和分母，直到最简。

②一次约分：

用分子和分母的最大公约数去除分子和分母，直接得到最简分数。

说明：

分母是分子的倍数，约分后是几分之一。

分子分母末尾有0的，先划去同样多的0，再约分。

对假分数，可约分后化为带分数，或化成带分数后再约分，但注意不要漏写整数部分的数。

注意，约分时，不要把作为除数的公约数与约简的结果相混。

（2）通分：

分母相同的几个分数叫同分母分数。

分母不同的几个分数叫异分母分数。

通分就是不改变分数的大小，把几个异分母分数化成分母相同的分数，通分时所化成的相同的分母叫公分母，其中一个最小的叫做这几个异分母分数的最小公分母。

通分的方法：

先求出几个分数的分母的最小公倍数，用它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数化成以公分母为分母的分数。

6、分数大小的比较：

（1）整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。

（2）整数部分相同，分子也相同，分母小的分数比较大。

（3）分子、分母都不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数分别化成小数再比较。

（4）比较假分数的大小，可以把假分数化成带分数或整数后再比较。

二、分数四则运算

1、分数的加法和减法：

①同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

②异分母分数相加减，先通分转化成同分母分数，再计算。

分数加减法的最后计算结果要约成最简分数。

如果是假分数的要化成带分数或整数。

整数加减法的运算定律和运算性质同样适用于分数加减法。

2、分数的乘法和除法：

①分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

②分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

③带分数乘法，先把带分数化成假分数，再计算。

计算分数乘法时，能约分的要先约分，然后再计算。

计算结果是假分数的要化成带分数或整数。

倒数：

乘积是1的两个数叫做互为倒数，a×

b＝1（a≠0,b≠0）,a叫做b的倒数，b叫做a的倒数。

④分数除法，甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

3、分数的四则运算：

运算顺序和整数四则运算顺序相同。

（1）整数运算定律对分数同样适用，它可以使一些分数四则混合运算变得简便。

（2）计算过程中，有时保留假分数计算比较简便，但最终的结果要化成最简分数。

小数及其运算

一、小数的认识

1、小数：

分母是10、100、1000、……的分数可以仿照整数的写法，写在整数个位的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫做小数。

2、小数的分类：

（1）按小数的整数部分是否为0，小数可分为纯小数和带小数。

一个整数部分是0的小数叫纯小数。

一个整数部分不是0的小数叫带小数。

（2）根据小数部分的位数是否是有限的，小数可分为有限小数和无限小数。

小数部分的位数是有限的小数叫有限小数。

小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。

小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫无限循环小数。

一个无限小数，小数部分各数位上的数字不是循环的，这样的小数叫无限不循环小数。

3、小数的性质：

小数点移动引起小数大小变化。

小数点向右移动，原数扩大。

反过来讲，把原数扩大，小数点向右移动。

数位不足，补0。

小数点向左移动，原数缩小。

反过来讲，把原数缩小，小数点向左移动。

4、小数大小的比较：

5、分数和小数的互化：

（1）分数化小数

①分母是10、100、1000……的分数，可以直接写成小数。

②把某些分数化成分母是10、100、1000……的分数。

③分数不能化成有限小数，可以用循环小数表示，也可以按精确度的要求，取近似值。

如三分之一。

辨别分数能否化成有限小数，看最简分数的分母除了2和5以外，不含有其它质因数，即可。

（2）有限小数化分数

根据小数的意义，可直接写成分母是10、100、1000……的分数，去掉小数点得到的数作分子。

（3）循环小数化分数

①纯循环小数化分数：

分子就是一个循环节的数字所组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节数字的个数，能约分的要约分。

②混循环小数化分数：

第二个循环节以前的数字组成的数，减去不循环的数字组成的数之差作分子；

分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同，最后化为最简分数。

二、小数四则运算

小数的加、减、乘、除运算的意义与整数相同。

三、整数、分数、小数四则混合运算

运算顺序与整数四则混合运算顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律适用分数、小数。

一般地，分数、小数的加减混合运算，通常把分数化为小数计算，当题目中的分数不能都化成有限小数，则把小数化为分数计算；

分数、小数的乘除混合运算，可以直接按分数乘除混合运算进行，当除数是小数时，把它化成分数通常可使计算简便。

计算方法

一、常用的速算方法

1、分组法：

根据运算定律，运算性质，以及和差积商的一些性质，对算式中的运算进行重新整合，使之便于计算。

2、补数凑整法：

对于算式中接近整十、百……的数，通过补数，使其变成整十、百……的数，可简化计算。

3、基准数法：

若干个数都接近某数的数相加，可把某数作基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘，再加上个数与基准数的差，就得到计算结果。

4、分解法：

5、转化法：

6、公式法：

二、常用的算式

25×

4＝100，25×

6＝150，125×

8＝1000，1÷

2＝0.5，1÷

4＝0.25，1÷

8＝0.125

三、审题分析的常用方法

认真审题，弄清数学名词、术语的含义，确认问题是什么（求什么），在理清题目中叙述的数量关系的基础上，正确列式解答。

有些题目没有直接给出数字，通过叙述的形式出现在题目中，如“最小的自然数与最小的合数乘积是多少？

”由自然数和合数的含义可知，最小的自然数是0，最小的合数是4。

1、综合法：

由已知的条件逐步推导出所求问题的分析方法，即“从已知，看未知，逐步推向问题”。

2、分析法：

从问题出发，逆向分析，逐步找出解决问题的条件，即“从问题，看需知，逐步推向已知”。