高考真题理科数学全国卷3.doc
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理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学
理科数学
考试时间：
____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
得分
单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
2．设复数z满足（1+i）z=2i，则∣z∣=（ ）
A.
B.
C.
D.2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．的展开式中的系数为（ ）
A.
B.
C.40
D.80
5．已知双曲线C：
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为
D.在（,）单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）
A.
B.
C.3
D.8
10．已知椭圆C：
的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知函数有唯一零点，则a=（ ）
A.
B.
C.
D.1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ）
A.3
B.2
C.
D.2
填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.
14．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.
15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
）
17．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
20．（12分）
已知抛物线C：
y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
21．（12分）
已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
22．选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修44：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.
23．选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修45：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.
答案
单选题
1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. B9. A10. A11. C12. A
填空题
13.
14.
15.
16.
②③.
简答题
17.
（1）
（2）
18.
（1）分布列略；
（2）n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
19.
（1）证明略；
（2）.
20.
（1）证明略；
（2）见解析
21.
（1）a=1；
（2）3
22.
（1）；
（2）
23.
（1）；
（2）
解析
单选题
1.
由题意可得：
圆与直线相交于两点，，则中
有2个元素.故选B.
2.
由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.
3.
由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.
4.
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式的系数为，
当时，展开式的系数为，
则的系数为80－40＝40，故选C.
5.
双曲线C：
（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，
椭圆中：
，椭圆，双曲线的焦点为，
据此可得双曲线中的方程组：
，解得：
，
则双曲线的方程为.
6.
当时，，函数在该区间内不单调.故选D.
7.
阅读程序框图，程序运行如下：
首先初始化数值：
，然后进入循环体：
此时应满足，执行循环语句：
；
此时应满足，执行循环语句：
；
此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.
故选D.
8.
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：
，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
9.
设等差数列的公差为，且，，，又，所以，，故选A.
10.
以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.
11.
函数的零点满足，
设，则，
当时，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，
设，当时，函数取得最小值，
若，函数与函数没有交点，
当，时，此时函数与函数有一个交点，
即，解得，故选C.
12.
如图，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
填空题
13.
作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.
14.
由题意可得：
，解得：
，则
15.
由题意：
，函数在区间三段区间内均单调递增，且，
可知x的取值范围是：
.
16.
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误
简答题
17.
（1）由已知得 ，所以.
在△ABC中，由余弦定理得 ，即.
解得：
（舍去），.
（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
18.
（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
19.
（1）由题设可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及
（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
20.
（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上.
（2）由
（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由
（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
21.
（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.
（2）由
（1）知当时，.
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