数字滤波器总结Word格式.docx
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可视电话和会议电视产品不断更新换代。
视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。
（5）雷达
雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量和降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。
高速数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。
在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可缺少的，因为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。
雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。
（6）声纳
声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。
例如，他们都要产生和发射脉冲式探测信号，他们的信号处理任务都主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，他们要应用到的主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。
（7）生物医学信号处理
数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析X射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。
（8）音乐
数字滤波器为音乐领域开辟了一个新局面，在对音乐信号进行编辑、合成、以及在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果特殊方面，数字滤波技术都显示出了强大的威力。
数字滤波器还可用于作曲、录音和播放，或对旧录音带的音质进行恢复等。
（9）其他领域
数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除了以上几个领域外，还有很多其他的应用领域。
例如，在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦察；
在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；
在环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的自动监测，在经济领域中被应用于股票市场预测和经济效益分析，等等。
2数字滤波器的基本结构
数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应以及系统函数等表示。
对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用框图表示最为直接。
一个给定的输入输出关系，可以用多种不同的数字网络来实现。
在不考虑量化影响时，这些不同的实现方法是等效的；
但在考虑量化影响时，这些不同的实现方法性能上就有差异。
因此，运算结构是很重要的，同一系统函数H（z），运算结构的不同，将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。
IIR（无限冲激响应）滤波器与FIR（有限冲激响应）滤波器在结构上有自己不同的特点，在设计时需综合考虑。
作为线性时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函数表达式所表示的系统可以用两种方法：
一种方法是采用计算机软件实现；
另一种方法是用加法器、乘法器和延迟器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实现。
不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设计过程中，由同一系统函数可以构成很多不同的运算结构。
对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其输入和输出特性无关；
但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构的性能就有很大的差异。
因此，有必要对离散时间系统的结构有一基本认识。
一．IIR滤波器的基本结构
一个数字滤波器可以用系统函数表示为：
由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线性差分程为：
可见数字滤波器的功能就是把输入序列x（n）通过一定的运算变换成输出序列y（n）。
不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。
无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h（n）是无限长的，其差分方程如（2-2）式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有（2-1）式的形式，因此在z平面的有限区间（0<
︱z︱<
∞）有极点存在。
前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。
由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采用最少常数乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。
然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。
IIR滤波器实现的基本结构有：
（1）IIR滤波器的直接型结构（直接I型和直接II型）：
优点：
延迟线减少一半，变为N个，可节省寄存器或存储单元；
缺点：
其它缺点同直接I型。
通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统（一、二阶）来实现。
（2）IIR滤波器的级联型结构；
特点：
∙系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成；
∙极点位置可单独调整；
∙运算速度快（可并行进行）；
∙各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。
不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。
（3）IIR滤波器的并联型结构。
∙简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；
∙极、零点可单独控制、调整，调整α1i、α2i只单独调整了第i对零点，调整β1i、β2i则单独调整了第i对极点；
∙各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；
∙可流水线操作。
∙二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。
a、直接型b、并联型
c、串联型
图1、IIR滤波器的基本结构
二．FIR滤波器的基本结构
FIR滤波器[7]的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。
通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。
FIR滤波器实现的基本结构有：
（1）FIR滤波器的横截型结构
表示系统输入输出关系的差分方程可写作：
（2-3）
直接由差分方程得出的实现结构如图2-2所示：
图2、横截型（直接型﹑卷积型）
若h（n）呈现对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：
N为奇数时线形相位FIR滤波器实现结构N为偶数时线性相位FIR滤波器实现结构
（2）FIR滤波器的级联型结构
将H（z）分解成实系数二阶因子的乘积形式：
（2-4）
这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。
如图所示：
图3、FIR滤波器的级联结构
这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。
3数字滤波器的设计原理
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。
IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。
这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。
FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。
数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。
随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。
数字滤波器设计的基本步骤如下：
（1）确定指标
在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。
在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。
因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。
幅度指标主要以两种方式给出。
第一种是绝对指标。
它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR滤波器的设计。
第二种指标是相对指标。
它以分贝值的形式给出要求。
在工程实际中，这种指标最受欢迎。
对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。
运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点：
①只包含实数算法，不涉及复数运算；
②不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；
③长度为N的滤波器（阶数为N-1），计算量为N/2数量级。
因此，本文中滤波器的设计就以线性相位FIR滤波器的设计为例。
（2）逼近
确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。
通常采用理想的数字滤波器模型。
之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。
（3）性能分析和计算机仿真
上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。
根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；
或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。
4滤波器的性能指标
在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。
一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。
以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。
在通带内：
1-AP≤|H（ejω）|≤1|ω|≤ωc
在阻带中：
|H（ejω）|≤Astωst≤|ω|≤ωc
其中ωc为通带截止频率,ωst为阻带截止频率，Ap为通带误差,Ast为阻带误差。
图4、低通滤波器频率响应幅度特性的容限图
与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2π。
各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图所示：
图5、各种理想数字滤波器的幅度频率响应
5IIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助模拟滤波器进行设计。
模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，设计步骤：
（1）按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；
（2）根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H（s）；
（3）在按一定规则将H（s）转换为H（z）。
若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：
（4）将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤
（2）设计出模拟低通滤波器H（s），再由冲击响应不变法或双线性变换将H（s）转换为所需的H（z）。
s-z映射的方法有：
冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。
下面讨论双线性变换法。
双线性变换法[8]是指首先把s平面压缩变换到某一中介平面s1的一条横带（宽度为2πT,即从-πT到πT）,然后再利用
的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z平面。
这样s平面与z平面是一一对应关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象。
s平面到z平面的变换可采用
令
，
有：
从s1平面到z平面的变换,即
代入上式，得到：
一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入代定常数c，
则
这种s平面与z平面间的单值映射关系就是双线性变换。
有了双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用进行置换。
6FIR数字滤波器的设计方法
IIR滤波器的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正。
FIR滤波器的优点是可方便地实现线性相位。
FIR滤波器单位冲激响应h（n）的特点：
其单位冲激响应h（n）是有限长（
）,系统函数为：
在有限Z平面有（N-1）个零点，而它的（N-1）个极点均位于原点z=0处。
Fir滤波器线性相位的特点：
如果FIR滤波器的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足以下任一条件：
偶对称h（n）＝h（N-1-n）
奇对称h（n）＝-h（N-1-n）
其对称中心在n＝（N-1）/2处，则滤波器具有准确的线性相位。
窗函数设计法：
一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应
，由
导出
，我们知道理想滤波器的冲击响应
是无限长的非因果序列，而我们要设计的是
是有限长的FIR滤波器，所以要用有限长序列
来逼近无限长序列
，设：
常用的方法是用有限长度的窗函数w（n）来截取
即：
这里窗函数就是矩形序列RN（n）,加窗以后对理想低通滤波器的频率响应将产生什么样的影响呢?
根据在时域是相乘关系,在频域则是卷积关系：
其中,
为矩形窗谱,
是FIR滤波器频率响应.
通过频域卷积过程看
的幅度函数H（ω）的起伏现象,可知,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：
（1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。
（2）在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。
（3）改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。
（4）对窗函数的要求
a、窗谱主瓣尽可能窄，以获取较陡的过渡带；
b、尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度；
即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。
频率取样法：
窗函数设计法是从时域出发，把理想的hd（n）用一定形状的窗函数截取成有限长的h（n），来近似理想的hd（n），这样得到的频率响应
逼近于所要求的理想的频率响应
。
频率取样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应
加以等间隔抽样得到
，然后以此
作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值H（k），即
知道H（k）后，由DFT定义可唯一确定有限长序列h（n），利用这N个频域抽样值H（k）同样利用频率内插公式可得FIR滤波器的系统函数H（z），及频率响应
，即：
频率取样法内插公式：
频率取样法小结
可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。
抽样频率只能等于2π/N的整数倍，或等于2π/N的整数倍加上π/N。
因而不能确保截止频率
的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加抽样点数N，但这又使计算量增大。
为了提高逼近质量，减少通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。
有目的地在理想频率响应的不连续点的边缘，加上一些过渡的抽样点，增加过渡带，减少起伏振荡。
7IIR滤波器与FIR滤波器的比较
前面已经介绍了IIR和FIR数字滤波器的设计方法，选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性。
为了能在实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析：
（1）选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。
在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。
例如，用频率抽样法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器，要33阶才能达到要求，而用双线性变换法只需4～5阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标。
这就是说FIR滤波器的阶数要高5～10倍左右。
（2）在很多情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。
对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。
如果要使IIR滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。
就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。
（3）FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中都是稳定的，有限精度运算误差也较小。
IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。
对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。
（4）对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。
IIR滤波器不能进行这样的运算。
（5）从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。
一旦选定了已知的一种逼近方法（如巴特奥兹，切比雪夫等），就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次和系统函数的系数（或极点和零点）。
FIR滤波器则一般没有现成的设计公式。
窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。
一般FIR滤波器设计仅有计算机程序可利用，因而要借助于计算机。
（6）IIR滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和带阻滤波器。
FIR滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和相位特性的要求。
因此FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性很广。
而且，目前已经有很多FIR滤波器的计算机程序可供使用。
两种滤波器特点比较分析
FIR滤波器
IIR滤波器
设计方法
一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成
利用AF的成果，可简单、有效地完成设计
设计结果
可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）
只能得到幅频特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性
稳定性
极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题
有稳定性问题
阶数
高
低
结构
非递归系统
递归系统
运算误差
一般无反馈，运算误差小
有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环
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