高考数学天津文试题及解析.doc

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2017年天津文

1.（2017年天津文）设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}，则（A∪B）∩C=（）

A.{2} B.{1，2，4} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}

1.B【解析】由题意可得A∪B={1，2，4，6}，所以（A∪B）∩C={1，2，4}．故选B．

2.（2017·天津高考）设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：

选B　由2－x≥0，得x≤2，

由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，

故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

3.（2017年天津文）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）

A. B. C. D.

3.C【解析】选取两支彩笔的方法有：

红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：

红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P==．故选C．

4.（2017·天津高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：

选C　第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；

第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；

第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，

故输出N的值为2.

5.（2017年天津文）已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）

A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1

5.D【解析】由题意可得解得a2=1,b2=3，故双曲线方程为x2-=1．故选D．

6.（2017年天津文）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=-f（log2）,b=f（log24.1）,c=f（20.8），则a,b,c的大小关系为（）

A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b

6.C【解析】由题意可得a=f（log2）=f（log25），且f（log25）＞log24.1＞2，1＜20.8＜2，所以log25＞log24.1＞20.8，结合函数的单调性可得f（log25）＞f（log24.1）＞f（20.8），即a＞b＞c，即c＜b＜a.故选C.

7.（2017年天津文）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）,x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）

A.ω=，φ= B.ω=，φ=-

C.ω=，φ=- D.ω=，φ=

7.A【解析】由题意得其中k1，k2∈Z，所以ω=（k2-2k1）-，又T=＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=，，由|φ|＜π得φ=，故选A．

8.（2017·天津高考）已知函数f（x）＝设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[－2,2] B．[－2，2]

C．[－2,2] D．[－2，2]

[解析]　选A　法一：

作出f（x）的图象如图所示．

当y＝的图象经过点（0,2）时，可知a＝±2.

当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，

由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，

并结合图象可得a＝2.

要使f（x）≥恒成立，

当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0，

当a＞0时，需满足a≤2，即0＜a≤2，

综上可知，－2≤a≤2.

法二：

∵f（x）≥在R上恒成立，

∴－f（x）－≤a≤f（x）－在R上恒成立．

①令g（x）＝－f（x）－.

当0≤x＜1时，f（x）＝x＋2，

g（x）＝－x－2－＝－x－2≤－2，

即g（x）max＝－2.

当x＜0时，f（x）＝－x＋2，g（x）＝x－2－＝－2，

即g（x）＜－2.

当x≥1时，

f（x）＝x＋，g（x）＝－x－－＝－x－≤－2，

即g（x）max＝－2.

∴a≥－2.

②令h（x）＝f（x）－.

当0≤x＜1时，

f（x）＝x＋2，h（x）＝x＋2－＝＋2≥2，

即h（x）min＝2.

当x＜0时，

f（x）＝－x＋2，h（x）＝－x＋2－＝－x＋2＞2，

即h（x）＞2.

当x≥1时，

f（x）＝x＋，h（x）＝x＋－＝＋≥2，

即h（x）min＝2.

∴a≤2.

综上可知，－2≤a≤2.

法三：

若a＝2，则当x＝0时，f（0）＝2，

而＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.

若a＝－2，则当x＝0时，f（0）＝2，而＝2，不等式不成立，故排除选项B.故选A.

此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a＝2，－2是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．

9.（2017年天津文）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________．

9.-2【解析】===-i为实数，则=0,a=-2．

10.（2017年天津）已知a∈R,设函数f（x）＝ax－lnx的图象在点（1,f

（1））处的切线为l,则l在y轴上的截距为_________.

解析:

由题可得f

（1）＝a,则切点为（1,a）.因为f′（x）＝a－,所以切线l的斜率为f′

（1）＝a－1,切线l的方程为y－a＝（a－1）（x－1）,令x＝0可得y＝1,故l在y轴上的截距为1.

11.（2017年天津文）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．

11.【解析】设正方体的边长为a，则6a2=18a=，其外接球直径为2R=a=3，故这个球的体积V=πR3=π×=．

12.（2017年天津文）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为___________．

12.（x+1）2+（y-）2=1【解析】由题可设圆心坐标为C（-1，m），则A（0，m），焦点F（1，0），=（-1，0），=（1，-m），cos∠CAF===-，解得m=±，由于圆C与y轴的正半轴相切，则m=，所求圆的圆心为（-1，），半径为1，所求圆的方程为（x+1）2+（y-）2=1.

13.（2017年天津文）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为___________．

13.4【解析】≥=4ab+≥2=4，前一个等号成立的条件是a2=2b2，后一个等号成立的条件是ab=，两个等号可以同时成立，当且仅当a2=，b2=时取等号．

14.（2017年天津文）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ-（λ∈R），且·=-4，则λ的值为___________．

14.【解析】由题可得·=3×2×cos60°=3，=+，则·=（+）（λ-）=×3+×4-×9-×3=-4λ=．

15.（2017年天津）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA＝4bsinB,ac＝（a2－b2－c2）.

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B－A）的值.

【解析】

（1）由asinA＝4bsinB及正弦定理,得a＝2b.

由ac＝（a2－b2－c2）及余弦定理,得cosA＝＝＝－.

（2）由

（1）可得sinA＝,代入asinA＝4bsinB,得sinB＝＝.

由

（1）知A为钝角,所以cosB＝＝.

于是sin2B＝2sinBcosB＝,cos2B＝1－2sin2B＝,

故sin（2B－A）＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.

16.（2017年天津）电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）

广告播放时长（分钟）

收视人次（万）

甲

70

5

60

乙

60

5

25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（1）用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；

（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？

【分析】

（1）由甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟、广告时间不少于30分钟、甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2倍分别列出x,y满足的不等式,结合x,y为自然数建立不等式组,再画出平面区域.

（2）列出目标函数,根据目标函数的几何意义求出最值.

解：

（1）由已知x,y满足的数学关系式为即

该不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界）.

（2）设总收视人次为z万,则目标函数为z＝60x＋25y.

由z＝60x＋25y,得y＝－x＋.

当取得最大值时,z的值最大.

由图2可知当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时,最大,即z最大.

联立解得M（6,3）,

所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

17.（2017年天津）如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD＝1,BC＝3,CD＝4,PD＝2.

（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（2）求证：

PD⊥平面PBC；

（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

【解析】

（1）如图,由已知AD∥BC,

∴∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥PD.

在Rt△PDA中,由已知得AP＝＝,

∴cos∠DAP=＝.

∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（2）∵AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.

又∵BC//AD,∴PD⊥BC.

又PD⊥PB,∴PD⊥平面PBC.

（3）过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

∵PD⊥平面PBC,∴PF为DF在平面PBC上的射影,

∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.

∵AD∥BC,DF∥AB,∴BF＝AD＝1.

由已知得CF＝BC－BF＝2.

又AD⊥DC,∴BC⊥DC.

在Rt△DCF中,DF＝＝2.

在Rt△DPF中,sin∠DFP＝＝.

∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

18.（2017年天津文）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．

18.解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．

由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0．

又因为q＞0，解得q=2，所以bn=2n．

由b3