高考后3题专项训练数列专题2.docx
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高考后3题专项训练数列专题2
数列专题
1.（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I）求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
2.（2009北京文）设数列的通项公式为.数列定义如下：
对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？
如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
3.（2009山东卷文）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记求数列的前项和
4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和.
5.（2009安徽卷文）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和
（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：
当且仅当n≥3时，＜
6.（2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设
（Ⅰ）若,求数列的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。
（Ⅲ）若
7.（2009辽宁卷文）等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
8.（2009陕西卷文）已知数列满足，.
令，证明：
是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式。
9.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，
且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：
an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn
10.（2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
11.（2009重庆卷文）（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：
；
（Ⅲ）求证：
．
参考答案
1.（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I）求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：
，
对任意的成立，
2.（2009北京文）设数列的通项公式为.数列定义如下：
对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？
如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
解（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.
（Ⅱ）由题意，得，
对于正整数，由，得.
根据的定义可知
当时，；当时，.
∴
.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，..
3.（2009山东卷文）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记求数列的前项和
解:
因为对任意的,点，均在函数且均为常数）的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以
（2）当b=2时，,
则
相减,得
所以
4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和.
解：
设的公差为，则
即
解得
因此
5.（2009安徽卷文）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和
（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：
当且仅当n≥3时，＜
【解析】
（1）由于
当时,
又当时
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
（2）由
（1）知
由即即
又时成立,即由于恒成立.
因此,当且仅当时,
6.（2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设
（Ⅰ）若,求数列的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。
（Ⅲ）若
（1）解：
由题设，
代入解得，所以
（2）解：
当成等比数列，所以，即，注意到，整理得
（3）证明：
由题设，可得，则
①
②
①-②得，
①+②得，
③
③式两边同乘以q，得
所以
（3）证明：
=
因为，所以
若，取i=n，
若，取i满足，且，
由
（1）
（2）及题设知，，且
1当时，，由，
即，
所以
因此
2当时，同理可得因此
综上，
7.（2009辽宁卷文）等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
解：
（Ⅰ）依题意有
由于，故
又，从而5分
（Ⅱ）由已知可得
故
从而10分
8.（2009陕西卷文）已知数列满足，.
令，证明：
是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式。
（1）证
当时，
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）解由
（1）知
当时，
当时，。
所以。
9.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，
且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：
an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn
解
（1）解：
设等差数列的公差为d，则依题设d>0
由a2+a7＝16.得①
由得②
由①得将其代入②得。
即
（2）令
两式相减得
于是
=-4=
10.（2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：
（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
11．（2009重庆卷文）（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：
；
（Ⅲ）求证：
．
解：
（Ⅰ），所以
（Ⅱ）由得即
所以当时，于是
所以
（Ⅲ）当时，结论成立
当时，有
所以
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