数一真题标准答案及解析Word文档下载推荐.docx
《数一真题标准答案及解析Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数一真题标准答案及解析Word文档下载推荐.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
设矩阵
A=1
B=010，则A于B（）
000
合同,
且相似
（B）合同，但不相似
不合同，但相似
（D）既不合同，也不相似
（7）设向量组1,2,3线形无关，则下列向量组线形相关的是：
（）
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为
22
（A）3p（1p）（B）6p（1p）
2222
（C）3p（1p）（D）6p（1p）
（10）设随即变量（X，丫）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx（x）,fY（y）分别表示X,Y的概率密
度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fxiy（x|y）为
（11）
:
2exdx=
|x
填空题：
11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（12）设f（u,v）为二元可微函数，zf（xy,yx），则一Z=.
（13）二阶常系数非齐次线性方程y4y'
3y2e2x的通解为y=
（14）设曲面：
|x||y||z|1，贝V（x|y|）ds=
0100
00103
（15）设矩阵A=，则A的秩为
0001
0000
（16）在区间（0,1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于一的概率为
三•解答题：
17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上•解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤•
（17）（本题满分11分）求函数f（x,y）x22y2x2y2在区域D{（x,y）x2y24,y0}
上的最大值和最小值。
（18）（本题满分10分）
计算曲面积分
Ixzdydz2xydzdx3xydxdy,
其中为曲面z1x2Z（0z1）的上侧•
4
（19）（本题是11分）
设函数f（x）,g（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内二阶导数且存在相等的最大值,f（a）g（a）,f（b）g（b）证明：
存在（a,b），使得f'
'
（）g'
（）.
（20）（本题满分10分）
设幕级数anxn在（，）内收敛，其和函数y（x）满足
n0
y"
2xy'
4y0,y（0）0,y'
（0）1
（1证明an2an,n1,2丄；
n1
⑵求y（x）的表达式.
（21）（本题满分11分）
为x2%0
设线性方程组x12x2ax30
（1）
%4x2a2x30
与方程％2x2x3a1
（2）
有公共解，求a的值及所有公共解.
1的一个特征向量
（22）设3阶对称矩阵A的特征向量值11,22,32,1（1,1,1）T是A的属于
记BA54A3E其中E为3阶单位矩阵
（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；
（II）求矩阵B.
f（x,y）0
（I）求P{X2Y}；
（II）求zXY的概率密度.
（24）设总体X的概率密度为
f（x,
xy
0x1,0y1
其他
0x
、1
）
x1
2（1
（23）设二维变量（x,y）的概率密度为
Xi，X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值
（I）求参数的矩估计量；
（II）判断4X2是否为2的无偏估计量，并说明理由.
2007年考研数学一真题解析
（2）当x0时，与,X等价的无穷小量是
（B）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
A.1e■-B.lnC.-.f1Fx1D.1cosIx
1Jx
⑵曲线y=1ln（1ex）,渐近线的条数为（D）
A.0B.1C.2D.3
（3）如图，连续函数y=f（x）在区间［-3，-2］，［2，3］上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间［-2，0］，
［0，2］的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F（x）=0f（t）dt.则下列结论正确的是（C）
A.F（3）=4f
（2）
535
B.F⑶=4f⑵C.F⑶=4f⑵D.F（3）=廿
（2）
⑷设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（C）
A.若lim’d存在，则f（0）=0B.若limf（x）f（X）存在，则f（0）=0
x0x
C.若lim―D存在，则
f（0）=0d.若lim―存在，则f（0）=0
⑸设函数f（x）在（0,+
）上具有一阶导数，且f"
（x）o,令un=f（n）=1,2,…..n,则下列结论正确的是（D）
A.若U1U2，则｛Un｝必收敛
B.若U1U2，则｛Un｝必发散
A.
r（x,y）dxb.
rf（x,y）dyc
；
.rf（x,y）dsD.
rf'
x（x,y）dx
f'
（7）
设向量组1,
2,
3线形无关:
则下列向量组线形相关的是：
12,2
3,3
（B）12,2
3,31
122,2
23,
321
（D）122,2
23,321
11
00
设矩阵A=1
21
B=0
10,则A于B,
12
合同，且相似
（B）合同,
但不相似
f（x,y）=1（f（x,y）具有一阶连续偏导数），过第H象限内的点M和第W象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是（B）
度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fx|Y（x|y）为（A）
|x|
|y||z|
4J3
1，则a（x|y|）ds=——3
（15）设矩阵A=，则A的秩为1.
0001
13
（16）在区间（0,1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于一的概率为一
24
三、解答题：
演算步骤。
【详解】：
（1）求驻点
fx
fy
2xy2xy30
4xy2xy0
（x,y）（0,0）（f0）
或（x,y）（.2,1）（f2）;
（2）考察边界y0,此时最大值为4,最小值为0
（3）考察边界x2y24,y0
F（x,y）x22y2x2y2（x2y24）
F
y
z
2x
2xy2
x0
4y
2x2y
y0
2x
y24
252
x2,y
此时数值为7
x20,y24,此时数值为8
x24,y20,此时数值为4
综上所述x=0,y=2时，取得为8
最小值x=0,y=0取得为0
其中为曲面z1x2-（0z1）的上侧4
【详解】
取为xoy平面上被椭圆x2-1所围部分的下侧,
记为由与1围成的空间闭区域，贝U
Ixzdydz2zydzdx3xydxdy
xzdydz2zydzdx3xydxdy
（z3z）dxdydz
Gauss公式xzdydz2zydzdx3xydxdy
3zdxdydz3Qdz
x2
y2
zdxdy
1z
~4
设函数f（x）,g（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内二阶导数且存在相等的最大值，
f（a）g（a）,f（b）g（b）证明：
存在（a,b），使得f（）g（）
证明：
设f（x）,g（x）在（a,b）内某点c（a,b）同时取得最大值，则f（c）g（c），此时的c就是所求点
使得f（）g（）.若两个函数取得最大值的点不同则有设
f（c）maxf（x）,g（d）maxg（x）故有f（c）g（c）0,g（d）f（d）0,由介值定理，在（c,d）内肯定
存在使得f（）g（）由罗尔定理在区间（a,）,（,b）内分别存在一点1,2,使得f'
（1）=f'
（2）=0在
区间（1,2）内再用罗尔定理，即
存在（a,b），使得f"
（）
（1）证明an2an,n1,2,L;
⑵求y（x）的表达式
（1）将已知条件中
幕级数anxn代入到微分方程中，整理即可得到:
2…|an2an,n1,2,L
（2）解题如下
y（0）
a00
y'
（0'
）1
a1
an2
ana2
a4
n
a3
a11
a5
—
a7
6a5
2g3
111
a9
8a7
2鹄
故
anX
Xx3
15X
12n1
L
xeX
1n!
117gx
2再
a2n
1119
2g3g4X
（21）（本题满分11分）
X1
X2
2x2
X30
（1）
与方程X1
X3
（2）
有公共解，
求a的值及所有公共解
因为方程组
（1）、
（2）有公共解，
即由方程组
（1）、
X1x2
x12x2
ax3i
（3）的解•
>
x14x2
a2
a
01a
即距阵
2a
00a2
3a
Xi
4X2
2.
ax3
2aX3
a1,a
设线性方程组
⑵组成的方程组
方程组（3）有解的充要条件为
当a1时，方程组（3）等价于方程组
（1）即此时的公共解为方程组
（1）的解.解方程组
（1）的基础解系为
a2时，方程组（3）的系数距阵为
0此时方程组（3）的解为
x10,x21,x31，即公共解为：
k（0,1,1）T
记BA54A3E其中E为3阶单位矩阵
（I）验证i是矩阵B的特征向量拼求B的全部特征值的特征向量;
（II）求矩阵B.
【详解】：
（I）可以很容易验证Aniini（n1,2,3...），于是
于是1是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
（B）（A）54（A）31，
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为（x1,x2,x3）T，所以有方程如下：
x1x2x3
于是求得
B的属于1的特征向量为
（1,0,1）T,
3（1,1,0）T
11
n）令矩阵p
1,2,310
，则P1BP
diag（2,1,1），所以
BPdiag（2,1,1）P
1diag（2,1,1）
f（x,y）
（I）求P{X
2Y}；
（II）求zX
Y的概率密度
（I）PX
2Y（2
D
求此二重积分可得
y）dxdy,
2Y
x1,0
其中D为0
1,0
2y的那部分区域;
dx
（x
2（2x0
52“
x）dx
8
y）dy
7
24
Fz（z）
|P
Z
P
当z
0时
寸，
Fz
（z）
2时,
⑺
当0
z1
时，
Fz”
（
当1
z2
Y
0；
dx（2
z1zxv
zx
0叭（2x
w1
xy）dyz
32z24z
2zz2,0z于是fZ（z）z24z4,1
0,其他
f（x,）
丄
X「X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本,
X是样本均值
（I）求参数的矩估计量;
（II）判断4X是否为的无偏估计量，并说明理由.
【详解】:
xdx
2
（1）
EXdx
02
E（4X）
4E（X）4（DX
（EX）2）
4（-DX
（EX）2），而
EX
EX2
DX
EX2
（EX）2
—2
53n
12n
1（1
5
48
3n
22）
12
J
2
因此4X不是为2的无偏估计量
升级会员 