考点整合与训练第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系充分条件与必要条件Word文件下载.docx

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2.（选修2－1P6练习引申）命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠，则tanα≠1B.若α＝，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α＝

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.

答案　C

3.（选修2－1P8AT2

（1）改编）“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为________.

解析　“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.

答案　若ab不是偶数，则a，b不都是偶数

4.（2018·

天津卷）设x∈R，则“<

”是“x3<

1”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由<

，得0<

x<

1，所以0<

x3<

1；

由x3<

1，得x<

1，不能推出0<

1.所以“<

1”的充分而不必要条件.

答案　A

5.（2017·

北京卷）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>

b>

c，则a＋b>

c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.

解析　a>

c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6<

c.

答案　－2，－4，－5（答案不唯一）

6.（2019·

安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－＋a为奇函数”的________条件.

解析　显然a＝0时，f（x）＝sinx－为奇函数；

当f（x）为奇函数时，

f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－＋a＋sinx－＋a＝0.

因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.

答案　充要

考点一　命题及其关系

【例1】

（1）（2019·

郑州模拟）下列说法正确的是（　　）

A.“若a>

1，则a2>

1”的否命题是“若a>

1，则a2≤1”

B.“若am2<

bm2，则a<

b”的逆命题为真命题

C.存在x0∈（0，＋∞），使3x0>

4x0成立

D.“若sinα≠，则α≠”是真命题

（2）（2018·

北京卷）能说明“若f（x）>

f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.

解析　

（1）对于选项A，“若a>

1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；

对于B项，若“am2<

b”的逆命题为“若a<

b，则am2<

bm2”，因为当m＝0时am2＝bm2，所以其逆命题为假命题，B错；

对于C项，由指数函数的图象知，∀x∈（0，＋∞），都有4x>

3x，C错；

对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”是真命题，故原命题是真命题.

（2）根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x）min＝f（0）.

答案　

（1）D　

（2）f（x）＝sinx，x∈[0，2]（答案不唯一，再如f（x）＝）

规律方法　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.

（1）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例.

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.

【训练1】

（1）（2018·

肇庆一诊）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是（　　）

A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”

B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”

C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”

D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”

（2）命题p：

若x>

0，则x>

a；

命题q：

若m≤a－2，则m<

sinx（x∈R）恒成立.若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.

（2）命题p的逆命题是若x>

a，则x>

0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<

－1，解得a<

1.则实数a的取值范围是[0，1）.

答案　

（1）D　

（2）[0，1）

考点二　充分条件与必要条件的判定

【例2】

（1）（2018·

北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

（2）设函数f（x）＝则“m>

1是f[f（－1）]>

4”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析　

（1）|a－3b|＝|3a＋b|⇔（a－3b）2＝（3a＋b）2⇔a2－6a·

b＋9b2＝9a2＋6a·

b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，

∴a·

b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.

（2）当m>

1时，f[f（－1）]＝f＝f

（2）＝22m＋1>

4，

当f[f（－1）]>

4时，f[f（－1）]＝f＝f

（2）＝22m＋1>

4＝22，

∴2m＋1>

2，解得m>

.

故“m>

1”是“f[f（－1）]>

4”的充分不必要条件.

答案　

（1）C　

（2）A

规律方法　充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断.

（2）集合法：

根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【训练2】

（1）（2018·

浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

（2）（2019·

佛山质检）已知函数f（x）＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>

b”是“f（a）>

f（b）”的（　　）

解析　

（1）若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.

（2）因为f（x）＝3x－3－x，

所以f′（x）＝3xln3－3－xln3×

（－1）＝3xln3＋3－xln3，

易知f′（x）>

0，

所以函数f（x）＝3x－3－x为（－∞，＋∞）上的单调递增函数，从而由“a>

b”可得“f（a）>

f（b）”，由“f（a）>

f（b）”可得“a>

b”，即“a>

f（b）”的充要条件.

答案　

（1）A　

（2）C

考点三　充分条件、必要条件的应用

典例迁移

【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.

∴解得m≤3.

又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.

综上，m的取值范围是[0，3].

【迁移探究1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？

并说明理由.

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴∴

这样的m不存在.

【迁移探究2】设p：

P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：

非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

p是q的充分不必要条件.

∴p⇒q且q

p，即PS.

∴或

∴m≥9，又因为S为非空集合，

所以1－m≤1＋m，解得m≥0，

综上，实数m的取值范围是[9，＋∞）.

规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练3】（2018·

浏阳三校联考）设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<

0，a∈R；

q：

实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>

0.若a<

0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解　由p得（x－3a）（x－a）<

0，当a<

0时，3a<

a.

由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>

0，则－2≤x≤3或x<

－4或x>

2，则x<

－4或x≥－2.

设p：

A＝（3a，a），q：

B＝（－∞，－4）∪[－2，＋∞），

又p是q的充分不必要条件.

可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.

又∵a<

0，∴a≤－4或－≤a<

即实数a的取值范围为（－∞，－4]∪.

[思维升华]

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；

在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.

2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

（2）若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

（3）若A＝B，则p是q的充要条件.

[易错防范]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2019·

河南八市联考）命题“若a>

b，则a＋c>

b＋c”的否命题是（　　）

A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤b

C.若a＋c>

b＋c，则a>

bD.若a>

b，则a＋c≤b＋c

解析　将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.

2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　）

解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.

答案　B

3.设a>

b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（　　）

A.ac2>

bc2B.>

1

C.a－c>

b－cD.a2>

b2

解析　对于选项A，a>

b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；

对于选项B，a>

b，若a>

0，b<

0，则<

1，故B错；

对于选项C，a>

b，则a－c>

b－c，故C正确；

对于选项D，a>

b，若a，b均小于0，则a2<

b2，故D错.

成都诊断）命题p：

cosθ＝，命题q：

tanθ＝1，则p是q的（　　）

解析　由cosθ＝，得θ＝±

＋2kπ，k∈Z，则tanθ＝±

1，

故p

q，p是q的不充分条件；

由tanθ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，则cosθ＝±

，

故q

p，p是q的不必要条件；

所以p是q的既不充分也不必要条件.

答案　D

5.原命题：

设a，b，c∈R，若“a>

b，则ac2>

bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.4个

解析　原命题：

若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；

逆命题为：

设a，b，c∈R，若“ac2>

bc2，则a>

b”.由ac2>

bc2知c2>

0，∴由不等式的基本性质得a>

b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.

6.已知命题p：

x2＋2x－3＞0；

x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是

綈p，则a的取值范围是（　　）

A.[1，＋∞）B.（－∞，1]

C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]

解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

7.（2017·

北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·

n<

0”的（　　）

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·

n＝λn·

n＝λ|n|2<

0；

反之m·

n＝|m||n|cos〈m，n〉<

0⇒cos〈m，n〉<

0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·

0”的充分不必要条件.

8.下列结论错误的是（　　）

A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C.命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>

0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

即m≥－，不能推出m>

0.所以不是真命题.

二、填空题

9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件（填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个）.

解析　“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案　必要

10.以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）.

①“若log2a>

0，则函数f（x）＝logax（a>

0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.

解析　①不正确.由log2a>

0，得a>

1，∴f（x）＝logax在其定义域内是增函数.

②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.

③不正确，原命题的逆命题为：

“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.

答案　②④

11.直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.

解析　直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于<

，解之得－1<

k<

3.

答案　－1<

3

12.（2019·

湖南师大附中月考）设p：

ln（2x－1）≤0，q：

（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.

解析　p对应的集合A＝{x|y＝ln（2x－1）≤0}＝，q对应的集合B＝{x|（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}，由q是p的必要而不充分条件可知AB，所以a≤且a＋1≥1，所以0≤a≤.

答案　

能力提升题组

10分钟）

13.（2017·

浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由S4＋S6－2S5＝S6－S5－（S5－S4）＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>

2S5等价d>

0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.

14.（一题多解）（2019·

江西新课程教学质量监测）已知命题p：

x2＋2x－3>

>

0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是（　　）

A.[－3，0]B.（－∞，－3]∪[0，＋∞）

C.（－3，0）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）

解析　法一　由x2＋2x－3>

0，得x<

－3或x>

1.

则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.

x>

a＋1或x<

a，

则綈q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.

依题意綈q是綈p的充分不必要条件，所以BA，

故解得－3≤a≤0.

法二　∵綈q的一个必要不充分条件是綈p，

∴綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，

p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>

0}＝{x|x<

1}，

q对应的集合D＝＝{x|x>

a}，

由于p是q的充分不必要条件知，CD，

∴解得－3≤a≤0.

15.若不等式m－1<

m＋1成立的充分不必要条件是<

，则实数m的取值范围是________.

解析　由题意可知（m－1，m＋1），借助数轴得解得－≤m≤，

故实数m的取值范围是.

16.“a＝1”是“函数f（x）＝－是奇函数”的__________条件.

解析　当a＝1时，f（－x）＝－f（x）（x∈R），则f（x）是奇函数，充分性成立.

若f（x）为奇函数，恒有f（－x）＝－f（x），得（1－a2）（e2x＋1）＝0，则a＝±

1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f（x）＝－是奇函数”的充分不必要条件.

答案　充分不必要