版高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修21.docx

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版高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修21

6距离的计算

学习目标　1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.

知识点一　点到直线的距离

1.点到直线的距离

因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题.

如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.

作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小____________等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝__________________.

2.点到直线的距离的算法框图

空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图.

知识点二　点到平面的距离

1.求点到平面的距离

如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点.

作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度.

而向量在n上的投影的大小__________________等于线段AA′的______，所以点A到平面π的距离d＝____________.

2.点到平面的距离的算法框图

空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示.

知识点三　直线到与它平行的平面的距离

如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均______.

一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离.

知识点四　两个平行平面的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的________.公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的__________.

两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的______.

类型一　求点到直线的距离

例1　如图，在空间直角坐标系中有棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.

反思与感悟　已知一点P和一个向量s确定的直线l，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤

（1）计算斜向量；

（2）计算在向量s上的投影·s0；

（3）根据勾股定理，计算d＝.

点A到直线l的距离公式也可以写成d＝.

求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.

跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1三点的平面和平面ABC的交线为l.

（1）判断直线A1C1和l的位置关系，并加以证明；

（2）如果AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点A1到直线l的距离.

类型二　求点到平面的距离

例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.

反思与感悟　利用向量求点到平面的距离的一般步骤

（1）求出该平面的一个法向量；

（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

（3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

跟踪训练2　已知点A（－1,1，－1），平面α经过原点O，且垂直于向量n＝（1，－1,1），求点A到平面α的距离.

类型三　求直线到与它平行的平面的距离

例3　在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点.

（1）求证：

AD∥平面A′EFD′；

（2）求直线AD到平面A′EFD′的距离.

反思与感悟　求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离.

跟踪训练3　在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点.求直线A1B1与平面ABE的距离.

类型四　求两平行平面间的距离

例4　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离.

反思与感悟　求平行平面之间的距离常转化为求点到平面的距离.

跟踪训练4　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.

1.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是（　　）

A.aB.a

C.aD.a

2.两平行平面α、β分别经过坐标原点O和点A（2,1,1），且两平面的一个法向量为n＝（－1,0,1），则两平面间的距离是（　　）

A.B.

C.D.3

3.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2,1），点A（－1,3,0）在α内，则P（－2,1,4）到α的距离为________.

4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________.

5.如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

（1）求BF的长；

（2）求点C到平面AEC1F的距离.

1.由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求.

2.两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解.

提醒：

完成作业　第二章　§6

答案精析

知识梳理

知识点一

1.|·s0|　

知识点二

1.|·n0|　长度　|·n0|

知识点三

相等

知识点四

公垂线　公垂线段　距离

题型探究

例1　解　如图，连接AF.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴A（2,0,0），

E（0,2,1），F（1,0,2）.

∴直线EF的方向向量为＝（1，－2，1），

取直线EF上一点F（1,0,2），

∴点A（2,0,0）到直线EF上一点F（1,0,2）的向量为＝（－1,0,2），

∴在上的投影为·＝，

∴点A到直线EF的距离为

d＝＝.

跟踪训练1　解　

（1）A1C1∥l.

证明如下：

∵A1C1∥AC，A1C1⊈平面ABC，AC平面ABC，

∴A1C1∥平面ABC.

又∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，

∴l∥A1C1.

（2）如图，建立空间直角坐标系，

则B（4,0,0），C（4,3,0），A1（0,0,1），

C1（4,3,1）.

∴＝（4,0，－1），＝（4,3,0）.

过点B作BH⊥A1C1，垂足为点H.

由

（1）知，l∥A1C1，∴BH即为点A1到直线l的距离.

∵·＝16，

∴||＝＝，

∴||＝＝.

即点A1到直线l的距离为.

例2　解　建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意可知G（0,0,2），E（4，－2,0），F（2，－4,0），B（4,0,0），

∴＝（4，－2，－2），＝（2，－4，－2），

＝（0，－2,0）.

设平面EFG的一个法向量为n＝（x，y，z）.

由得

∴

令y＝1，则n＝（－1,1，－3），

故点B到平面EFG的距离为

d＝＝＝.

跟踪训练2　解　∵＝（－1,1，－1），

n＝（1，－1,1），

∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.

例3　

（1）证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

由题意得＝（a,0,0），

＝（a,0,0），

∴DA∥D′A′.

∵D′A′平面A′EFD′，AD⊈平面A′EFD′，

∴AD∥平面A′EFD′.

（2）解　由题意得D′（0,0，a），F（0，a，），

∴＝，＝.

设平面A′EFD′的一个法向量为n＝（x，y，z），

则即

不妨令z＝1，则n＝（0，，1）.

∴在n上的投影的大小为

d＝＝a.

∴直线AD到平面A′EFD′的距离为a.

跟踪训练3　解　如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

A1（1,0,2），A（1,0,0），E（0，，1），C（0，，0）.

过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，

∴B（1,2，0），

∴＝（0,2，0），＝（－1，－，1）.

设平面ABE的一个法向量为n＝（x，y，z），

∴∴

∴令z＝1，得n＝（1,0,1）.

∵＝（0,0,2），

∴直线A1B1与平面ABE的距离为

d＝＝＝.

例4　解　如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），M（2,0,4），

A（4,0,0），B（4,4,0），E（0,2,4），F（2,4,4），N（4,2,4），

∴＝（2,2,0），＝（2,2,0），

＝（－2,0,4），＝（－2,0,4），

∴＝，＝，

∴EF∥MN，AM∥BF，

∴平面AMN∥平面EFBD.

设n＝（x，y，z）是平面AMN的一个法向量，

则

解得令z＝1，得x＝2，y＝－2，

则n＝（2，－2,1）.又∵＝（0,4,0），

∴在n上的投影为

＝＝－，

∴平面AMN与平面EFBD间的距离为d＝＝.

跟踪训练4　解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1（1,0,1），

B（1,1,0），D1（0,0,1），

∴＝（0,1，－1），＝（－1,0，－1），＝（－1,0,0）.

设平面A1BD的一个法向量为n＝（x，y，z），

则∴

令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝（－1,1,1）.

∴点D1到平面A1BD的距离为

d＝＝＝.

∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

当堂训练

1.A　2.B　3.　4.

5.解　

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0,0,0），

B（2,4,0），A（2,0,0），C（0,4,0），E（2,4,1），C1（0,4,3）.

设点F（0,0，z）.

∵截面AEC1F为平行四边形，

∴＝，∴（－2,0，z）＝（－2,0,2），

∴z＝2，∴F（0,0,2），

∴＝（－2，－4,2），∴||＝2.

即BF的长为2.

（2）设平面AEC1F的一个法向量为n1＝（x，y,1），

由

得

即

∴∴n1＝（1，－，1）.

又∵＝（0,0,3），

∴点C到平面AEC1F的距离为

d＝＝＝.