高考复习教案解三角形.doc
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正弦定理和余弦定理
基础梳理
1．正弦定理：
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
（2）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
（3）sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：
cosA＝，cosB＝，cosC＝.
3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝（a＋b＋c）·r（R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
【例1】►在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.
[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
解 由正弦定理得＝，＝，
∴sinA＝.
∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.
【训练1】（·北京）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
解析 因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，
且＝2，sin2A＋cos2A＝1，
联立解得sinA＝，
再由正弦定理得＝，
代入数据解得a＝2.
答案 2
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
[审题视点]由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．
解
（1）由余弦定理知：
cosB＝，
cosC＝.
将上式代入＝－得：
·＝－，
整理得：
a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosB＝＝＝－.
∵B为三角形的内角，∴B＝π.
（2）将b＝，a＋c＝4，
B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，
得b2＝（a＋c）2－2ac－2accosB，
∴13＝16－2ac，∴ac＝3.
∴S△ABC＝acsinB＝.
【训练2】（·桂林模拟）已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
（1）求角A的值；
（2）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解
（1）由2cos2＋cosA＝0，
得1＋cosA＋cosA＝0，
即cosA＝－，
∵0＜A＜π，∴A＝.
（2）由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝，
则a2＝（b＋c）2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，则bc＝4，
故S△ABC＝bcsinA＝.
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
解
（1）由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4，联立方程组解得
（2）由题意，得sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0，即A＝时，B＝，
a＝，b＝；
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，
由正弦定理，得b＝2a.
联立方程组
解得
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
【训练3】（·北京西城一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
（1）当A＝30°时，求a的值；
（2）当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解
（1）因为cosB＝，所以sinB＝.
由正弦定理＝，可得＝，
所以a＝.
（2）因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，
所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.
所以（a＋c）2－2ac＝20，（a＋c）2＝40.
所以a＋c＝2.
正弦定理与余弦定理
1．（人教A版教材习题改编）在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于（ ）．
A．5 B．10
C. D．5
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：
＝，
即＝.∴c＝.
答案 C
2．在△ABC中，若＝，则B的值为（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析 由正弦定理知：
＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.
答案 B
3．（·郑州联考）在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
解析 由余弦定理得：
cosA＝＝＝，
∵0＜A＜π，∴A＝60°.
答案 C
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为（ ）．
A．3B．2C．4D.
解析 ∵cosC＝，0＜C＜π，
∴sinC＝，
∴S△ABC＝absinC
＝×3×2×＝4.
答案 C
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．
解析 ∵a2＋b2－c2＝－ab，
∴cosC＝＝－，
故C＝150°为三角形的最大内角．
答案 150°
6．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ .
7．在中，若，则的大小是______________.
8．在△ABC中，若,求的值．
解 由条件
∴
同理可得
∴＝＝7．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．
9．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
解：
（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，，
．
10.在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，
（１）求∠Ａ的大小；
（２）求的值
解（１）∵
∴
在△ABC中，由余弦定理得
∴∠Ａ＝
（２）在△ABC中，由正弦定理得
∵
∴
11．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，Ｓ为△ABC的面积，且有
，
（１）求角Ｂ的度数；
（２）若，Ｓ＝，求的值
解由二倍角公式，已知等式化简为
∴
∴Ｂ＝或120°
∴
∴
当Ｂ＝时，由余弦定理,得
当Ｂ＝120°时，由余弦定理,得
正弦定理和余弦定理
基础梳理
1．正弦定理：
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
（2）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
2．余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：
cosA＝，cosB＝，cosC＝.
3．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
【例1】►在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.
【训练1】（·北京）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
【训练2】（·桂林模拟）已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
（1）求角A的值；
（2）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
【训练3】（·北京西城一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
（1）当A＝30°时，求a的值；
（2）当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
正弦定理与余弦定理
1．（人教A版教材习题改编）在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于（ ）．
A．5 B．10
C. D．5
2．在△ABC中，若＝，则B的值为（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．（·郑州联考）在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为（ ）．
A．3B．2C．4D.
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．
6．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ .
7．在中，若，则的大小是______________.
8．在△ABC中，若,求的值．
9．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
10.在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，
（１）求∠Ａ的大小；
（２）求的值
11．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，Ｓ为△ABC的面积，且有
，
（１）求角Ｂ的度数；
（２）若，Ｓ＝，求的值
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