知识梳理与自测人教A版文科数学《95直线与椭圆》 第2课时Word格式.docx

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（1）当Δ>

0，即－3<

3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

（2）当Δ＝0，即m＝±

3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

（3）当Δ<

0，即m<

－3或m>

3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法

（1）研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．

（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

题型二　弦长及中点弦问题

命题点1　弦长问题

例1斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B.C.D.

答案　C

解析　设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

，

当t＝0时，|AB|max＝.

命题点2　中点弦问题

例2已知P（1,1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．

答案　x＋2y－3＝0

解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k（x－1），弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2）．

由

消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0，

∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，

∴＝2，解得k＝－.

经检验，k＝－满足题意．

故此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），

即x＋2y－3＝0.

方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1，①

＋＝1，②

①－②得＋＝0，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.

∴此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.

思维升华

（1）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．

（2）设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝

＝（k为直线斜率）．

（3）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

跟踪训练1设离心率为的椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为－1.

（1）求E的方程；

（2）矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．

解　

（1）Rt△PF1F2内切圆的半径r＝（|PF1|＋|PF2|－|F1F2|）＝a－c，

依题意有a－c＝－1.

又＝，则a＝，c＝1，从而b＝1.

故椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）设直线AB的方程为y＝x＋m，

代入椭圆E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

由Δ>

0得－<

.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

|AB|＝|x2－x1|＝.

易知|BC|＝，

则由－<

知|BC|＝，

所以由已知可得|AB|＋|BC|＝，

即＋＝，

整理得41m2＋30m－71＝0，

解得m＝1或m＝－（均满足－<

）．

所以直线AB的方程为y＝x＋1或y＝x－.

题型三　椭圆与向量等知识的综合

例3已知椭圆C：

0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ（其中λ>

1）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求实数λ的值．

解　

（1）由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，

故b2＝a2－c2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）由＝λ，可知A，B，F三点共线，

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；

当AB所在直线l的斜率k存在时，

设l的方程为y＝k（x－1）．

由消去y得

（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.①

①的判别式Δ＝64k4－4（4k2＋3）（4k2－12）

＝144（k2＋1）>

0.

∵

∴x1＋x2＝＝2×

＝，∴k2＝.

将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，

解得x＝.

又＝（1－x1，－y1），＝（x2－1，y2），＝λ，

即1－x1＝λ（x2－1），λ＝，又λ>

1，∴λ＝.

思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．

跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1（－1,0），F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2.

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．

解　

（1）△F1B1B2为等边三角形，

则⇒⇒

椭圆C的方程为＋3y2＝1.

（2）易知椭圆C的方程为＋y2＝1，

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），

由得（2k2＋1）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，

由已知得Δ>

0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝，

＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），

因为⊥，所以·

＝0，

即（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝x1x2＋（x1＋x2）＋1＋k2（x1－1）（x2－1）＝（k2＋1）x1x2－（k2－1）（x1＋x2）＋k2＋1＝＝0，

解得k2＝，即k＝±

故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：

x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆＋＝1的交点个数是（　　）

A．至多为1B．2

C．1D．0

答案　B

解析　由题意知，>

2，即<

2，

∴点P（m，n）在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.

2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

A.B.

C.D.

解析　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0），则直线AB的方程为y＝2x－2.

联立解得交点坐标为（0，－2），，

不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，

∴S△OAB＝·

|OF|·

|yA－yB|

＝×

1×

＝，

故选B.

3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P（4,2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　）

A.B．－C．2D．－2

解析　设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

两式相减，得

＋＝0，

所以＝－，

所以k＝＝－.故选B.

4．已知F1（－1,0），F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）

A.＋y2＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

解析　设椭圆C的方程为＋＝1（a>

0），则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.

5．（2018·

吉林四平质检）经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°

的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·

等于（　　）

A．－3B．－

C．－或－3D．±

解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y－0＝tan45°

（x－1），即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以两个交点坐标为A（0，－1），B，所以·

＝（0，－1）·

＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·

＝－.

6．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（＋）·

＝0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是（　　）

A．4B．3C．2D．1

解析　∵（＋）·

＝（＋）·

∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，

∴

＝mn＝1.

7．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．

答案　相交

解析　由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1）＋1过定点（－1，1），而（－1,1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．

8．过点M（1,1）作斜率为－的直线与椭圆C：

0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

答案　

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∴＝－·

∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴－＝－，

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，

∴a2＝2（a2－c2），∴a2＝2c2，∴＝.

9．已知椭圆C：

0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.

解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°

，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.

10．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________.

答案　2

解析　不妨取直线MN⊥x轴，椭圆＋y2＝1的左焦点F（－1,0），令x＝－1，得y2＝，

所以y＝±

，所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，

则＝＝2.

11.如图，椭圆C：

0）的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若斜率为2的直线l过点（0,2），且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．

解　

（1）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，

4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4（a2－c2）＝5a2，∴e＝＝.

（2）由

（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：

＋＝1.

直线l的方程为y－2＝2（x－0），即2x－y＋2＝0.

由消去y，

得x2＋4（2x＋2）2－4b2＝0，

即17x2＋32x＋16－4b2＝0.

Δ＝322＋16×

17（b2－4）>

0，解得b>

x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵OP⊥OQ，∴·

即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）＝0，

5x1x2＋4（x1＋x2）＋4＝0.

从而－＋4＝0，

解得b＝1，满足b>

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

12．设椭圆＋＝1（a>

0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·

＋·

＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．

解　

（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，

所以＝.

因为椭圆的离心率为，所以＝，

又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）由

（1）可知F（－1,0），

则直线CD的方程为y＝k（x＋1）．

联立

消去y得（2＋3k2）x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

又A（－，0），B（，0），

所以·

＝（x1＋，y1）·

（－x2，－y2）＋（x2＋，y2）·

（－x1，－y1）

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2（x1＋1）（x2＋1）

＝6－（2＋2k2）x1x2－2k2（x1＋x2）－2k2

＝6＋＝8，

解得k＝±

从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.

所以|x1－x2|＝

＝＝，

|CD|＝|x1－x2|

＝.

而原点O到直线CD的距离为

d＝＝＝，

所以△OCD的面积为S＝|CD|×

d＝×

×

13．（2018·

广州模拟）已知椭圆C：

0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，则椭圆C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

解析　方法一　∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在椭圆C的短轴上，设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，

∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝·

|F1F2|，

∴AF1⊥AF2，

从而△AF1F2∽△OMF2，∴＝＝，

又|AF1|2＋|AF2|2＝（2c）2，

∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，

又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＝2a，即＝.

故选D.

方法二　∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在椭圆C的短轴上，在Rt△MOF2中，tan∠MF2O＝＝，

设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，

∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝|F1F2|，

∴AF1⊥AF2，∴tan∠AF2F1＝＝，

设|AF1|＝x（x>

0），则|AF2|＝2x，∴|F1F2|＝x，

∴e＝＝＝＝，故选D.

14．已知椭圆＋＝1（a>

0）短轴的端点为P（0，b），Q（0，－b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－，则点P到直线QM的距离为______．

答案　b

解析　设A（x0，y0），则B点坐标为（－x0，－y0），

则·

＝－，即＝－，

由于＋＝1，则＝－，

故－＝－，则＝，不妨取M（a,0），则直线QM的方程为bx－ay－ab＝0，则点P到直线QM的距离为

d＝＝＝b.

15．平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2等于（　　）

A.B．－C．－D．－2

解析　设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得

＝－，

整理得＝－＝－k1＝－2，

即＝－.又G，

所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选C.

16．过椭圆＋＝1（a>

0）上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．

解　设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，

则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E和F，

所以S△EOF＝·

|OE||OF|＝，

因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，

所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，

当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，

故△EOF面积的最小值为.