高考数学总复习：简单线性规划知识梳理(提高).doc
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简单的线性规划
【考纲要求】
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】
简单的线性规划
二元一次不等式（组）表示的区域
简单应用
不等式（组）的应用背景
【考点梳理】
【高清课堂：
不等式与不等关系394841知识要点】
考点一：
用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
要点诠释：
画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称：
“直线定界，特殊点定域”方法。
考点二：
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点（x,y），实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0,y0）（若原点不在直线上，则取原点（0,0）最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧.
要点诠释：
判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0,y0）（若原点不在直线上，则取原点（0,0）最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧.
考点三：
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by（a，b∈R）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
要点诠释：
在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：
①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；
③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；
④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。
考点四：
解线性规划问题总体步骤：
设变量→找约束条件，找目标函数
作图，找出可行域求出最优解
要点诠释：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
【典型例题】
类型一：
二元一次不等式（组）表示的平面区域
例1.用平面区域表示不等式组.
【解析】不等式表示直线右下方的区域，
表示直线右上方的区域，
取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
举一反三：
【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。
【解析】如图，面积为；
【变式2】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为。
【解析】
【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.
【解析】不等式所表示的平面区域如图
联立方程组得
所以
例2.画出下列不等式表示的平面区域
（1）；
（2）
【解析】
（1）原不等式等价转化为或（无解），
故点在区域内，如图：
（2）原不等式等价为或，如图
举一反三：
【变式1】用平面区域表示不等式
（1）；
（2）；（3）
【解析】
（1）
（2）（3）
例3.求满足不等式组的整数解.
【解析】设：
，：
，：
，则
由，得，
由，得
由，得
于是看出区域内点的横坐标在内，取，
当时，代入原不等式组有，即，得＝－2，
∴区域内有整点。
同理可求得另外三个整点、、.
举一反三：
【变式1】求不等式组的整数解。
【解析】如图所示，
作直线，，，
在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，
此三角形区域内的整点（2,1），（1,0），（2,0），（1,－1），（2,－1），（3,－1）即为原不等式组的整数解。
类型二：
图解法解决简单的线性规划问题.
【高清课堂：
不等式与不等关系394841基础练习一】
例4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A．12 B．10 C．8 D．2
【解析】由约束条件可知可行域如图：
平移知在处取得最大值
答案：
B
举一反三：
【变式1】求的最大值和最小值，使式中的,满足约束条件.
【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）
作直线，把向右上方平移至位置，
即直线经过可行域上点A时，距原点距离最大，且，
这时目标函数取得最大值.
由方程组，解得，∴.
把直线向左下方平移至位置，即直线l经过可行域上点B时，由于，
这时目标函数取得最小值.
由方程组，解得，∴.
【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个，则的值为.
【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得.
【变式3】如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）
A． B． C． D．
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，
要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。
由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的距离
（垂足为A）
所以，故选Ａ
例5.已知、满足约束条件，求下列各式的最大值和最小值.
（1）；
（2）.
【解析】
（1）不等式组表示的平面区域如图所示：
求出交点，，，
作过点的直线:
，平移直线，得到一组与平行的直线:
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，
当经过点时的直线所对应的最大，所以；
当经过点时的直线所对应的最小，所以.
（2）不等式组表示的平面区域如图所示：
作过点的直线:
，平移直线，得到一组与平行的直线:
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，
当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大，所以；
当经过点时的直线所对应的最小，所以.
举一反三：
【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.
【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，
以经过点的直线所对应的最小，
以经过点的直线所对应的最大.
所以，
.
类型三：
某些实际背景的线性规划问题.
例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：
生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。
有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?
【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件
约束条件：
，
目标函数：
z=7000x+12000y
如图：
目标函数经过A点时，z取得最大值
，即A（20，24）
∴当x=20,y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。
答：
安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。
举一反三：
【变式1】某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？
【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：
，即
如图所示，作出不等式表示的区域，
作直线，即，
作直线的平行线：
当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，
可得A点坐标为。
∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，
而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，
即过时，，
但此时，
∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，
当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。
∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，
即zmin=160×5+2×252=1304（元）.
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