高次不等式的解法.doc

高次不等式的解法.doc

《高次不等式的解法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高次不等式的解法.doc（4页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高次不等式的解法---穿根法

一．方法:

先因式分解,再使用穿根法.

注意:

因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

使用方法:

①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）.

③数轴上方曲线对应区域使“>”成立,下方曲线对应区域使“<”成立.

例1:

解不等式

（1）（x+4）（x+5）2（2-x）3<0

（2）≤1

解:

（1）原不等式等价于（x+4）（x+5）2（x-2）3>0

2

-4

-5

根据穿根法如图

不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.

（2）变形为≥0

2

2

1

1

3

1

根据穿根法如图

不等式解集为

{x|x<或≤x≤1或x>2}. 

【例2】 解不等式：

（1）2x3-x2-15x＞0；

（2）（x+4）（x+5）2（2-x）3＜0．

【分析】 如果多项式f（x）可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f（x）＞0（或f（x）＜0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

解：

（1）原不等式可化为

x（2x+5）（x-3）＞0

顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图（5－1）的阴影部分．

（2）原不等式等价于

（x+4）（x+5）2（x-2）3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：

①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照

（2）的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图（5－2）．

数轴标根法”又称“数轴穿根法”

　　第一步：

通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

（注意：

一定要保证x前的系数为

正数）

　　例如：

将x^3-2x^2-x+2>0化为（x-2）（x-1）（x+1）>0

　　第二步：

将不等号换成等号解出所有根。

　　例如：

（x-2）（x-1）（x+1）=0的根为：

x1=2，x2=1，x3=-1

　　第三步：

在数轴上从左到右依次标出各根。

　　例如：

-112

　　第四步：

画穿根线：

以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

　　第五步：

观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

　　例如：

　　若求（x-2）（x-1）（x+1）>0的根。

　　在数轴上标根得：

-112

　　画穿根线：

由右上方开始穿根。

　　因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。

即：

-12。

【典型例题】

例1、解不等式

（1）2x3-x2-15x＞0；

（2）（x+4）（x+5）2（2-x）4＜0．

例2、解下列不等式：

⑴（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）>0；⑵（x+2）（x2+x+1）>0；

⑶（x+2）2（x+1）<0；（4）（x+2）2（x+1）0；

（5）（x2-1）（x2-5x-6）>0

例3、解下列不等式：

⑴（x2-1）（x-1）（x2-x-2）<0；⑵（x+1）2（x-2）2（x-1）0；

⑶（x-1）2（x2-x-2）0；

例4、解不等式：

例5、解不等式：

例6、解不等式：

例7、解不等式：

例8、解不等式：

（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）

例9、解下列不等式。

⑴x+2+>7+；⑵1；

⑷0。

【巩固练习】

1、解下列不等式：

⑴（x+1）2（x-1）（x-4）>0；

⑵（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-3）>0；

⑶（x+2）（x+1）2（x-1）3（3-x））0

⑷（x2-1）（x-1）（x2-x-2）0；

⑸x+1

⑻0；

2：

解不等式：

1、2、

3、4、

5、6、