高次不等式的解法.doc

1、高次不等式的解法-穿根法一方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).数轴上方曲线对应区域使“”成立, 下方曲线对应区域使“”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)302-4-5根据穿根法如图不等式解集为xx2或x-4且x5.(2) 变形为0221131根据穿根法如图 不等式解集为x|x2. 【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x0；(2)(x+4)(x+5)2(

2、2-x)30【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0(或f(x)0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51)的阴影部分(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集为x|x-5或-5x-4或x2【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式

3、的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为 正数）例如：将x3-2x2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“0的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“

4、”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。【典型例题】例1、解不等式(1)2x3-x2-15x0；(2) (x+4)(x+5)2(2-x)40例2、解下列不等式： (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0； (x+2)(x2+x+1)0； (x+2)2(x+1) 0例3、解下列不等式：(x2-1)(x-1)(x2-x-2)7+； 1； 0。【巩固练习】1、解下列不等式：(x+1)2(x-1)(x-4)0；(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)0 ；(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x)0(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；x+10；2：解不等式：1、 2、 3、 4、 5、 6、