高二圆锥曲线、导数、复数综合卷.doc
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圆锥曲线、导数、复数综合卷
班级________________姓名________________
一、选择题
1．（2016·北京卷）复数＝（ ）
A．iB．1＋IC．－iD．1－i
解析：
＝＝＝＝i.
答案：
A
2．已知圆（x＋2）2＋y2＝36圆心为M，A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
B
3．已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e＝，则椭圆的标准方程为（）
A．＋y2＝1 B．x2＋＝1C．＋＝1D．＋＝1
C
4．函数y＝（2＋x3）2的导数为（ ）
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2（2＋x3）2 D．2（2＋x3）·3x
A
5．函数f（x）＝的最大值为（ ）
A．B．C．D．
D
6．过点M（1,2）的直线l与圆C：
（x－3）2＋（y－4）2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（ ）
A．x－2y＋3＝0B．2x＋y－4＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－3＝0
答案：
D
7．已知F1、F2为双曲线C：
x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|
的值为（）
A．2B．4C．6D．8
B
8．设，若函数，有大于零的极值点，则（）
A． B．C． D．
B
9．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是（ ）
A．（1,2） B．（1,2]C．（1，） D．（1，]
B
10．已知抛物线C：
的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（）
A.B.C.D.
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
11．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m（m>0），则此椭圆的离心率为．
12．过点P（－2，0）的双曲线C与椭圆＋＝1的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程是．
x±y＝0
13．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
解析：
易得双曲线y2－x2＝1过点，从而－＝1，所以p＝2.
14．已知圆C：
（x＋1）2＋y2＝r2与抛物线D：
y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为_____________
25π
15．如图Rt△ABC，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使它的另一个焦点在AB边上，且该椭圆过A、B两点，则该椭圆的焦距长为．
16．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_____．
[1，＋∞）
17．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
－2
三、解答题
18．
（1）双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
（2）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．
18．
（1）解：
由共同的焦点，可设椭圆方程为；
双曲线方程为，点在椭圆上，
双曲线的过点的渐近线为，即
所以椭圆方程为；双曲线方程为
或用定义
（2）解：
由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，
设抛物线方程y2＝4c·x．∵抛物线过点（，），
∴6＝4c·．∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x．……………………6分
又双曲线－＝1过点（，），∴－＝1．
又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1．∴a2＝或a2＝9（舍）．
∴b2＝，故双曲线方程为：
4x2－＝1．……………………6分
19．已知点P（0,5）及圆C：
x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解]
（1）如图所示，
|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为（x＋2）2＋（y－6）2＝16，2分
所以圆C的圆心坐标为（－2,6），半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
所以|AD|＝2，|AC|＝4，C点坐标为（－2,6）．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.4分
直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.6分
所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.7分
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），
则CD⊥PD，即·＝0，
所以（x＋2，y－6）·（x，y－5）＝0，10分
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分
20．已知函数有极值.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若在处取得极值，且当，恒成立，求取值范围.
20．解：
.解：
（Ⅰ）∵∴，…2分
因为有极值，则方程有两个相异实数解，
从而，∴……………………………………4分
（Ⅱ）∵在处取得极值，
，∴.……………………6分
∴，
∵
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.…………8分
∴当x<0时，在x=-1处取得最大值，
∵x<0时，恒成立，
∴，即，…………………12分
21．已知函数f（x）＝（ax2＋x－1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
（1）若a＝1，求曲线f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（3）若a＝－1，函数f（x）的图象与函数g（x）＝x3＋x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．
21．【解】
（1）因为f（x）＝（x2＋x－1）ex，
所以f′（x）＝（2x＋1）ex＋（x2＋x－1）ex＝（x2＋3x）ex，
所以曲线f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为k＝f′
（1）＝4e.
又因为f
（1）＝e，
所以所求切线方程为y－e＝4e（x－1），
即4ex－y－3e＝0.
（2）f′（x）＝（2ax＋1）ex＋（ax2＋x－1）ex＝[ax2＋（2a＋1）x]ex，
①若－＜a＜0，当x＜0或x＞－时，f′（x）＜0；
当0＜x＜－时，f′（x）＞0.
所以f（x）的单调递减区间为（－∞，0]，；
单调递增区间为
②若a＝－，f′（x）＝－x2ex≤0，所以f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）．
③若a＜－，当x＜－或x＞0时，f′（x）＜0；
当－＜x＜0时，f′（x）＞0.
所以f（x）的单调递减区间为，[0，＋∞）；
单调递增区间为
（3）由
（2）知，f（x）＝（－x2＋x－1）ex在（－∞，－1]上单调递减，在[－1,0]单调递增，在[0，＋∞）上单调递减，
所以f（x）在x＝－1处取得极小值f（－1）＝－，在x＝0处取得极大值f（0）＝－1.
由g（x）＝x3＋x2＋m，得g′（x）＝x2＋x.
当x＜－1或x＞0时，g′（x）＞0；
当－1＜x＜0时，g′（x）＜0.
所以g（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]单调递减，在[0，＋∞）上单调递增．
故g（x）在x＝－1处取得极大值g（－1）＝＋m，在x＝0处取得极小值g（0）＝m.
因为函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点．
所以即所以－－＜m＜－1
22．已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．
22．解：
（1）短轴长，…………………………1分
又，所以，所以椭圆的方程为…………………………4分
（2）设直线的方程为，
，消去得，
，…………………………6分
即即…………………………8分
即…………………………10分
，解得，所以……………12分
《圆锥曲线》参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．选B．解析：
点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|．又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
2．选C．解析：
由题意，c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b＝＝，又椭圆的焦点在x轴上
∴椭圆的方程为＋＝1．
3．选A【解析】
4．选A．
5．D函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
又f′（x）＝＝.
令f′（x）＝0得x＝，且当00，
当x>时，f′（x）<0，
所以f（x）在x＝处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值f（）＝.
6．选B．解析：
2x2＋3y2＝m（m>0）⇒＋＝1，∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝．
7．选B．解析：
如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．则
∴∴mn＝4．∴|PF1|·|PF2|＝4．
8．选B．【解析】由，得，令，得，所以.
9．选B．因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，
∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2,1＜e≤2.
10．
二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）
11．
12．答案：
x±y＝0．解析：
由题意，双曲线C的焦点在x轴上且为F1（－4，0），F2（4，0），∴c＝4．又
双曲线过点P（－2，0），∴a＝2．∴b＝＝2，∴其渐近线方程为y＝±x＝±x．
13.
14．答案：
解析：
设另一焦点为D，则由定义知AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a又易知BC＝∴a＝＋∴AD＝在Rt△ACD中焦距CD＝．
15【解析】f′（x）＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，
m≥－（）2＋，令g（x）＝－（）2＋，
则当＝1时，函数g（x）取得最大值1，故m≥1.
答案：
[1，＋∞）
16．答
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