中学数学之经典案例.docx
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中学数学之经典案例
数学课型模板
在义务教育各个学段中,关于数学部分,《新课程标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域.高中阶段得数学教学包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分。
综合来瞧,可以把数学课程模板分成两类,代数与几何。
1、代数课程模板（等差数列（第一节））
导入
师:
零花钱就是大家都很喜欢得,老师每个月上交工资,然后也会收到零花钱。
我们都希望零花钱越多越好,但往往不禁花.所以我每个月都会统计自己月初收到得零花钱与月末余下得零花钱.（pｐｔ展示表格如下）
月份
1
2
3
４
5
6
7
收入
0
19０
20０
2１０
剩余
35
３0
25
2０
15
10
5
思考1:
上述表格中得数据变化反映了什么样得信息？
（通过学生喜欢得话题来吸引大家参与教学得兴趣,让同学们自由谈论）
师：
大家可以瞧到，老师得生活多不容易啊,零花钱还不如同学们得多。
那么现在同学们能用数学文字语言来描述上述数列得特征吗？
生:
第一排月份与第二排收入就是依次变大得数据,第三排剩余就是依次变小得数据。
而且每一排后一项与它得前一项得差等于常数（描述1）。
师:
反例：
１，３,5,6，12，这样得数列特征与上述数列一样么？
生1:
不一样，她们之间得差不就是一个常数。
生2：
每一项与它得前一项得差等于同一个常数（描述２）.
师：
反例:
1,3,4，5，6，7，这样得数列特征与上述数列一样么?
生1：
不一样，从第二项起往后与上述一样，但第一项第二项之间不符合规律。
生2:
从第二项起，每一项与它得前一项得差等于同一个常数.（描述３）
（把学生得回答写在黑板上,通过反例得说明,让学生深刻得理解这三组数列得共同特征:
１、前后项为同一常数， ２、从第二项起）
新授
师：
用数学符号语言：
生3:
－＝d
师:
等价么?
生4：
应加上（d就是常数） n≥2，n∈Ｎ＊
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述得严谨性）
师：
对式子进行变形可得:
=＋ｄ（ｄ就是常数）n≥2，n∈N＊,如果我们能跳出ｄ得思维定势，能得到很多得公式变形。
（为今后更好得研究其特征，埋下伏笔）
师:
这样得数列在您日常生活中存在?
生１：
1，3，７,7，9,11，··· d=1
生2：
１0,15，2０，25,3０，3５,40,··· d=５
（让学生举例，加深对数列得感性认识）
师：
满足这样特征得数列很多，所以我们有必要为这样得数列取一个名字？
生:
等差数列
（让学生给出数学得定义，并有自己得语言进行交流。
当然也允许学生提出“等加数列”等得说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：
一般得，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项得差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,d为公差。
为数列得首项。
，，······（ｎ≥2,，n∈N＊）
（对定义进行分析，强调:
1、同一常数, 2、从第二项起.同时在学生得举例中改动几个数，问学生破坏定义得什么要求，注意对数列概念得严谨性分析。
）
师:
回到表格中抽象出得3个数列，分别说明她们得公差。
d=1 d=1０ ｄ＝－5
（引导学生发现公差d对数列得影响，当d>0时数列就是递增，当d<0时数列就是递减，当ｄ=0时数列就是常数列。
）
0
190
20０
师:
见上表，请7号得同学回答a7，请8号得同学求a8，请42号得同学求ａ42···
师:
若能求出数列得通项公式,问题就能较好得解决；
（再提出问题,引导问题进一步发展，发现求通项得必要性）
生:
我们把问题推广到一般情况。
若一个数列，,，···,ａn，···就是等差数列,它得公差就是d，那么数列{ an ｝得通项公式就是什么?
方法1。
n=2
n=3
n=４
·····
当n＝1时，也成立。
（归纳、猜想。
培养学生合情推理得能力）
方法２。
用叠加得,当ｎ=1时,也成立。
整理得:
ｎ∈N＊
（回过来再说明等差得优点,体现用等差概念得优势，化繁为简,化腐朽为神奇,体现“数学之美”；并让学生自由得交流，进行“再创造”）可推出,n、m∈N*
师：
1、对通项公式进行分析;通项公式中含有a１,d,ｎ,an四个量,其中ａ１与d就是基本量，当a1与d确定后，通项公式便随之确定.从已知与未知得角度瞧，若已知其中任意三个量得值，即可利用方程得思想求出第四个量得值（即知三求一）
２、,n、m∈N＊
挖掘等差数列得函数特征:
等差数列得通项公式ａn= a1＋（n－1）d．可表示为an=dn＋c（其中c=a1－ｄ,n属于N*）得形式，ｎ得系数即为公差。
当d≠0时，an就是定义在自然数集上得一次函数，其图象就是一次函数y=dｘ＋c（ｘ属于R）得图象上得一群孤立得点。
（画图略）
（在数列得通项公式中，每取一个n,都有唯一一个ａｎ与之对应，让学生联系映射得思想，挖掘数列得函数特征）
巩固：
师：
回到表格中抽象出得4个数列,分别说明她们得通项公式.
=1+（n—1）=ｎ
=15０+（n—1）*10
＝３５+（n－1）*（—5）
小结:
这节课我们一起对生活中常见得一类数据,进行了一次有意义得探索,并总结等差数列得概念求出了等差数列得通项公式，等差数列得定义就是判断一个数列就是否就是等差数列得依据之一，通项公式就是通项aｎ与项数n得关系得一种解析表示,它从函数与方程两个角度为我们求解问题提供了有力得工具.通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面得重要作用．让学生明白“数学来源于生活，应用于生活”.
作业:
等差数列有很多得性质,请同学们回去后对等差数列得性质进行研究?
在生活中寻找一些数据进行一次探索？
（研究性作业）
说明：
导入与新授之间只要过度自然即可,导入环节不超过1-2分钟。
上述详案，标注括号得部分在试讲过程中，可以根据实际情况与时间不完全说出来.整个教学过程凸显学生为主体，引导学生“说出“教学过程。
板书可以在讲课过程中适当写出，布置作业环节要体现开放性.
2、几何课程模板（圆柱得认识）
导入
师:
上节课我们学习了长方体，咱们简单得回顾一下。
首先我们教师里面有哪些东西就是正方体长方体，她们有哪些方面得性质？
生：
长方体得组成,就就是长方体有6个面，12条棱与８个顶点。
相对得面得面积相等,相对得棱得长度相等,比如教师里面立着得空调就就是一个长方体。
师：
回答得很好,学习几何就是很有意思得，它常常与我们得生活联系在一起。
再瞧一下老师手里得杯子，大家来描述一下，它就是什么形状？
生：
圆圆得，像个圆筒一样。
师：
回答得很好,现在请大家想一下，生活中还有那些物体也就是这种样子得形状?
生１:
超市里面得灌装可乐。
生2：
教室里面日光灯灯管。
师:
很好，您们很善于观察生活。
刚刚大家列举得物体，圆筒一样得形状,我们称之为圆柱。
新授
请大家拿出学具，圆柱体模型,观察并想一想圆柱有哪些特征?
生1:
圆柱有三部分组成,两个圆与一个周围得面。
生2:
两个圆得面积相等，
生3：
圆柱有无数条高。
师：
您能给大家指一指圆柱得高在哪里吗？
（学生指）
教师划一条侧面上得斜线,这就是圆柱得高吗？
为什么？
两个底面圆心得连线就是高吗？
高有多少条？
师：
大家得观察很仔细，确实圆柱就是由三部分组成得,两个圆与一个曲面,并且两个圆得面积相等，在圆柱中，两个圆叫圆柱得底面，曲面叫做圆柱得侧面，圆柱有无数条高。
（板书）
师：
通过刚才得研究,我们知道：
圆柱就是有两个完全一样得圆与一个侧面组成得,就是不就是任意两个完全相等得圆与一个侧面就一定能组成圆柱呢？
（不就是）我这里有两个大小完全相同得圆与一个侧面,她们能不能组成一个圆柱呢？
（不能）
圆柱得底面与侧面之间又有什么样得关系呢？
请大家以小组为单位,结合手中得学具进行研究.
生１:
圆得大小与侧面得粗细一样.
师:
大家得感觉没错。
可就是老师总感觉底面圆与侧面之间得关还不够具体，谁有办法能让大家很容易得瞧到它们之间得关系?
再次进行小组合作。
组1：
我们可以把圆柱得侧面剪开，把它展开后就变成了一个长方形。
这样它们就都成了平面图形,就容易进行比较了。
师：
这个小组得同学把侧面展开变成了长方形,就是沿哪里剪开得？
（圆柱得高）这样就把侧面这一曲面转变成了平面。
板书:
化曲为直
在以前得学习中,还有哪些知识也用到了这一方法？
生2：
学习圆得周长时我们也就是用到了这一思想。
生3:
学习圆得面积时我们也就是用到了这一思想,把原转化成了近似得长方形.
师：
大家得想法很有创造力,那展开后得长方形与底面圆之间有什么关系？
组2：
现在长方形得长等于圆柱得底面周长。
师：
大家把展开得圆柱体再围起来，验证一下这位同学得结果。
（学生操作）
还有其她发现吗？
生4：
长方形得宽等于圆柱得高.
师：
现在谁能完整地说一说展开后得长方形与圆柱得关系?
生5：
圆柱得侧面展开后就是一个长方形,长方形得长等于圆柱得底面周长，长方形得宽等于圆柱得高。
板书：
师:
刚才通过大家得努力，我们发现了圆柱得基本特征。
现在给大家分小组，每小组发两张白纸，大家自己尝试一下做一个白纸。
并测量出自己制作得圆柱得各个数据.
组1：
我们组就是利用长62、8厘米求出了底面圆得周长也就是62、8厘米,6２、8÷3、14÷2=10厘米，所以底面圆得半径就是10厘米。
用圆规画出了两个圆.粘起来就做成了一个圆柱。
组２：
我们就是把31、４厘米作为圆柱得底面周长,求出底面半径就是5厘米,用圆规画出了两个圆做成了圆柱。
小结;
请大家把做成得圆柱举起来互相欣赏一下。
虽然两个小组做成得圆柱形状不同,但她们都用到了今天所学得圆柱得基本特征:
圆柱由两个完全相等得圆与一个侧面围成得，圆柱得侧面展开后就是一个长方形，长方形得长等于圆柱得底面周长，长方形得宽等于圆柱得高.
练习
大家在课堂上面表现得很好，对圆柱模型得研究也很深入,请大家课后在生活中寻找一个圆柱形得物体,并对她得高与底面进行测量,想一想，如果想知道圆柱得面积，可以怎么算。
说明：
几何课程可以尽量使用模型并结合到实际生活，使课程得设计更有创意。
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