六年级上册奥数试题第12讲 比和比例 全国通用含答案Word格式文档下载.docx

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2．常见的反比例关系

（1）平行四边形的面积一定时，它的底和高成反比例的关系，即

底×

高=平行四边形的面积（一定）

（2）总时间一定时，制造成零件个数和制造每个零件所用的时间成反比例的关系，即

制造每个零件所用的时间×

零件个数=总时间（一定）

（3）两上互相啮合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例的关系，即

齿轮的齿数×

转数=齿轮转过的齿数（一定）

学法指导

解答正、反比例的应用题时，首先要找出题中相关联的量，即两个变量，再确定题中隐含着的定量，判断两个变量间的比例关系，建立正确的比例式。

经典例题

[例1]猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔，立刻追赶。

猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；

但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，兔子能跑4步。

问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔？

思路剖析

从猎犬开始追兔子到追上兔子，猎犬和兔子所用的时间相等，即时间一定，因此，它们跑的速度与距离成正比例的关系。

要求出猎犬跑的距离，关键是求出猎犬与兔子的速度之比。

解答

因为兔子3步距离等于猎犬2步距离，不妨设兔子一步为2距离单位，则猎犬一步为3距离单位；

又因为兔子4步的时间等于猎犬3步的时间，所以可设兔子每跑一步需3时间单位，猎犬每跑一步需4时间单位，根据

有

所以兔子与猎犬的速度之比为

设猎犬至少要跑过x米才能追到兔子，则此时兔子跑过（x-10）米，根据时间一定，速度和距离成正比，可列出比例式

8∶9=（x-10）∶x

8x=9（x-10）

x=90

答：

猎犬至少要跑过90米才能追上兔子。

[例2]如图1所示，甲、乙、丙三个齿轮啮合，当甲轮转7圈时，乙轮恰好转8；

圈；

当乙轮转5圈时，丙轮恰好转14圈，求当甲轮转5圈时，丙轮转几圈？

为方便叙述，我们用甲表示甲的齿轮齿数，类似地，用乙、丙分别表示乙、丙的齿轮齿数。

由已知甲∶乙=8∶7，乙∶丙=14∶5。

这是由于两上互相啮合的齿轮，齿数与转数成反比例的关系，所以本题的关键是求出甲∶丙。

由已知甲∶乙=8∶7=16∶14，又乙∶丙=14∶5

所以甲∶乙∶丙=16∶14∶5，即甲∶丙=16∶5

因此当甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈

甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈。

[例3]如图2所示，在三角形ABC中，DC∶BC=2∶5，BO∶OE=4∶1，求AE和EC的比。

要求AE∶EC，注意到△AOE和EOC的高相等，而△ABE和△BEC的高也相等，根据“在三角形中，如果高相等时，那么它的面积和底成比例关系”可以知道

，从而将线段长度之比转化为面积之比来求解.

连接OC,因为BO∶OE=4∶1,所以OE∶BE=1∶5.

所以

（1）

又因为DC∶BC=2∶5

（2）

比较

（1）与

（2），有

从而有AO=OD

AE和EC的比是3∶5。

[例4]一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里。

问此人走完全程共用了多少时间？

因为已知此人走三段路程的时间之比，所以要求出此人走完全程的时间，只要根据已知条件求出此人走上坡路所用的时间，从而只要求出此人上坡的速度和上坡的路程即可。

又知道全程30公里且上坡、平路和下坡三段路程比是1∶2∶3，从而求出上坡的路程。

上坡路的路程为

走上坡路所用的时间为

上坡路所用时间与全程所用时间之比为

走完全程所用的时间为

此人走完全程共用

。

[例5]在某商店购买A、B两种类型的钢笔共100支，已知A钢笔每支3元，B钢笔每支7元，并且购买A、B两种钢笔所用的钱数一样多，求A、B两种钢笔各买了多少支？

由已知，对A、B两种钢笔来说，所用的钱数是一样多的，由这个不变量可知，购买钢笔的数量与其单价成反比例关系。

由已知，A、B两种钢笔的单价之比是3∶7，并且它们所用总钱数一亲多，根据购买数量与其单价成反比例关系，可以知道A、B两种钢笔的数量之比为7∶3，所以A钢笔有

，B钢笔有100-70=30（支）。

买进A、B两种钢笔的数量分别是70支和30支。

[例6]师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟。

试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？

由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工

个零件；

徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工

个零件。

从而师徒二人的工作效率之比为

在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由

，所以工作量和工作效率成正比例关系。

☆解法一：

由于师徒两人工作效率的比是

在本题中，所以他们的工作量之比也是

因此师傅加工的零件个数是

，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）。

☆解法二：

设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件。

当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得

☆解法三：

因为师傅每分钟加工

个零件，徒弟每分钟加工

个零件，所以每分钟师徒二人可加工

个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是

师傅每分钟加工

个零件，因此最终师傅加工的零件数是

，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）。

某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25%，请问完成计划还需要多少天？

在本题中，工作效率和工作时间是两个变量，而不变量是计划生产5天后剩下的台数。

从工作效率上看，有原来的工作效率1600÷

20=80（台／天），又有提高后的效率80×

（1+25%）=100（台／天）。

从时间上看，有原来计划的天数，又有效率提高后还需要的天数。

根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得

提高后的效率×

所需要天数=剩下的台数

设完成计划还需要x天，则

1600÷

20×

（1+25%）×

x=1600-1600÷

5

80×

1.25×

x=1600-80×

100×

x=1600-400

x=12

提高后的效率是原来效率的

倍，把原来的效率看作“1”，则提高后效率与原来的效率之比是

因为工作效率和工作时间成反比例的关系，所以实际时间与计划时间之比是4∶5，如果设实际还需要量x天，而原来计划的时间是20-5=15（天），因此

4∶5=x∶15

5x=60

完成计划还需12天。

[例8]甲容器中有纯酒精11升，乙容器有水9升。

第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；

第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。

这样，甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？

本题的关键在乙容器。

第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中，并不改变乙容器中酒精纯度。

这是问题解决的突破口。

由题意，“乙容器中纯酒精的含量即为25%”。

由此可知：

第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，乙容器中酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3

原来乙容器有水9升，可以知道第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×

1÷

3=3（升），因此甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3。

把这时甲容器的液体看成两部分：

一部分是原来的8升纯酒精；

另一部分是从乙容器倒过来的混合液。

由乙容器中酒精与水的比为1∶3，便可以求出混合液的体积。

由已知，第一次和第二次乙容器中酒精含量都为25%，故乙容器酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3，从而第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为9×

3=3（升）。

甲容器剩下的酒精为11-3=8（升）。

第二次倒后，甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3。

设倒过来的这部分混合液中的酒精为1份，水看成3份，与混合后甲容器中纯酒精与水的比例5∶3比较知：

8升酒精是5-1=4（份），混合液是1+3=4（份）或（3+5）-4=4（份）。

再由8升纯酒精是4份，反过来4份混合液是8升。

与解法一相同，可知乙容器中纯酒精与水的比是1∶3；

甲容器中的纯酒精与溶液重量的比是5∶8。

设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是x升，依题意，列出方程

第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8升。

点津

解答比和比例问题的关键是要找出题中的不变量。

以例8而言，解题技巧在于：

找到乙容器酒精含量在第一次和第二次倒的过程中不变这一突破口；

对于几分之几，要把它化成几份对几份。

这种技巧类似于分数应用题和工程应用题中的假设单位1。

发展思维训练

1．甲桶油比乙桶油多3.6千克，从两桶中各取出1千克以后，乙桶时剩下油的

相当于甲桶里剩下油的

，那么甲桶中现有油______千克。

2．四个数依次相差

，它们的比是1∶3∶5∶7，那么这四个数的和是______。

3．有一堆围棋棋子，其中黑子与白子个数的比是4∶3。

从中取出91枚棋子，且黑子与白子个数的比是8∶5，而剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3∶4。

那么这堆围棋共有多少枚？

4．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，则可以比原定时间提前一个小时到达；

如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可以提前40分钟到达。

求甲乙两地间的距离。

5．甲容器有8%的食盐水300千克，乙容器中有12.5%的食盐水120千克。

现往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中食盐水浓度一样。

问倒入的水是多少千克？

6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3∶2。

他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。

这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。

求A、B两地之间的距离是多少千米？

7．有两块地共90公亩，第一块地的

和第二块地的

种茄子，两块地余下的共45公亩种西红柿。

求第一块地有多少公亩？

8．如图3所示，甲齿轮有60个齿，乙齿轮有36个齿，为了使甲轮转动15圈带动乙轮转动8圈，在甲、乙齿轮间连接一个丙齿轮。

丙齿轮是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮。

丙轮上大轮与甲轮啮合，小轮与乙轮啮合，求丙轮上大、小齿轮数最少应分别是多少？

参考答案

1．解：

从两桶中各取出1千克后，甲桶油仍比乙桶油多3.6千克。

设甲桶油现有油x千克，则乙桶现有油

，从而

即x=10.8（千克）

2．解：

设第一个数为x，则这四个数分别是x、3x、5x、7x，其和为x+3x+5x+7x=16x，再由已知

，即

所以四个数的和为

3．解：

设这堆围棋棋子中黑子4x枚，那么白子3x枚。

而在取出的91枚中，黑子有

由题意

（4x-56）∶（3x-35）=3∶4

9x-105=16x-224

即x=17

答；

这堆围棋子共有7x=7×

17=119（枚）。

4．解：

车速提高20%后，现在车速与原来车速之比为（1+20%）∶=6∶5，因此现在行完全程的时间与原来时间的比为速度比的反比5∶6，而现在车速行完全程可以提前一小时到达，所以原车速行完全程用6小时。

车速提高25%后，现在车速与原来车速之比为（1+25%）∶1=5∶4。

行相同路程所用时间比为4∶5。

现在用的时间缩短到原来的

，若一开始便提速25%，行完全程可提前

但现在只提前40分钟，即

小时，则提前了

这是因为前120千米是按原速行驶的，那么速度提高25%后行驶120千米可提前

小时。

设甲、乙两地相距x千米，则有

解得

甲乙两地相距270千米。

5．解：

由已知，甲容器有食盐300×

8%=24（千克），乙容器有食盐120×

12..5=15（千克）。

设倒入的水是x千克，有

倒入180千克水。

6．解：

设A、B两地之间的距离是x千米，并且出发时甲、乙的速度分别是3y和2y。

那么相遇提速后，甲、乙的速度分别是

相遇时甲、乙各走的路程是

，

从而

A、B两地相距45千米。

7．解：

设第一块地有x公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意，有

第一块地有36公亩。

8．解：

记丙轮上大、小齿轮数分别为

，甲转动15圈时丙轮所转的圈数为

，由齿数与转数成反比，有

即

化为连比

因此大小齿轮齿数最少要分别是25齿和8齿。