进制原码之间的转换技巧Word格式.docx

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例子1：

将二进制数（10010）2转化成八进制数。

（10010）2=（010010）2=（22）8=（22）8

例子2：

将二进制数（0.1010）2转化为八进制数。

（0.10101）2=（0.101010）2=（0.52）8=（0.52）8

诀窍：

因为每三位二进制数对应一位八进制数，所以，以小数点为界，整数位则将二进制数从右向左每3位一隔开，不足3位的在左边用0填补即可；

小数位则将二进制数从左向右每3位一隔开，不足3位的在右边用0填补即可。

2.二进制（Binary）——>

十进制（Decimal）

将二进制数（10010）2转化成十进制数。

（10010）2=（1x24+0x23+0x22+1x21+0x20）10=（16+0+0+2+0）10=（18）10

将二进制数（0.10101）2转化为十进制数。

（0.10101）2=（0+1x2-1+0x2-2+1x2-3+0x2-4+1x2-5）10=（0+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125）10=（0.96875）10

以小数点为界，整数位从最后一位（从右向左）开始算，依次列为第0、1、2、3………n，然后将第n位的数（0或1）乘以2的n-1次方，然后相加即可得到整数位的十进制数；

小数位则从左向右开始算，依次列为第1、2、3……..n，然后将第n位的数（0或1）乘以2的-n次方，然后相加即可得到小数位的十进制数（按权相加法）。

3.二进制（Binary）——>

十六进制（Hex）

将二进制数（10010）2转化成十六进制数。

（10010）2=（00010010）2=（12）16=（12）16

将二进制数（0.1010）2转化为十六进制数。

（0.10101）2=（0.10101000）2=（0.A8）16=（0.A8）16

因为每四位二进制数对应一位十六进制数，所以，以小数点为界，整数位则将二进制数从右向左每4位一隔开，不足4位的在左边用0填补即可；

小数位则将二进制数从左向右每4位一隔开，不足4位的在右边用0填补即可。

（10010）2=（22）8=（18）10=（12）16

（0.10101）2=（0.52）8=（0.96875）10=（0.A8）16 

四、八进制转化成其他进制

1.八进制（Octal）——>

二进制（Binary）

将八进制数（751）8转换成二进制数。

（751）8=（751）8=（111101001）2=（111101001）2

将八进制数（0.16）8转换成二进制数。

（0.16）8=（0.16）8=（0.001110）2=（0.00111）2

八进制转换成二进制与二进制转换成八进制相反。

2.八进制（Octal）——>

将八进制数（751）8转换成十进制数。

（751）8=（7x82+5x81+1x80）10=（448+40+1）10=（489）10

将八进制数（0.16）8转换成十进制数。

（0.16）8=（0+1x8-1+6x8-2）10=（0+0.125+0.09375）10=（0.21875）10

方法同二进制转换成十进制。

以小数点为界，整数位从最后一位（从右向左）开始算，依次列为第0、1、2、3………n，然后将第n位的数（0-7）乘以8的n-1次方，然后相加即可得到整数位的十进制数；

小数位则从左向右开始算，依次列为第1、2、3……..n，然后将第n位的数（0-7）乘以8的-n次方，然后相加即可得到小数位的十进制数（按权相加法）。

3.八进制（Octal）——>

将八进制数（751）8转换成十六进制数。

（751）8=（111101001）2=（000111101001）2=（1E9）16=（1E9）16

将八进制数（0.16）8转换成十六进制数。

（0.16）8=（0.00111）2=（0.00111000）2=（0.38）16

八进制直接转换成十六进制比较费力，因此，最好先将八进制转换成二进制，然后再转换成十六进制。

（751）8=（111101001）2=（489）10=（1E9）16

（0.16）8=（0.00111）2=（0.21875）10=（0.38）16

五、十进制转化成其他进制

1.十进制（Decimal）——>

将十进制数（93）10转换成二进制数。

93/2=46……….1

46/2=23……….0

23/2=11……….1

11/2=5…………1

5/2=2…………...1

2/2=1……………0

（93）10=（1011101）2

将十进制数（0.3125）10转换成二进制数。

0.3125x2=0.625

0.625x2=1.25

0.25x2=0.5

0.5x2=1.0

（0.3125）10=（0.0101）2

以小数点为界，整数部分除以2，然后取每次得到的商和余数，用商继续和2相除，直到商小于2。

然后把第一次得到的余数作为二进制的个位，第二次得到的余数作为二进制的十位，依次类推，最后一次得到的小于2的商作为二进制的最高位，这样由商+余数组成的数字就是转换后二进制的值（整数部分用除2取余法）；

小数部分则先乘2，然后获得运算结果的整数部分，将结果中的小数部分再次乘2，直到小数部分为零。

然后把第一次得到的整数部分作为二进制小数的最高位，后续的整数部分依次作为低位，这样由各整数部分组成的数字就是转化后二进制小数的值（小数部分用乘2取整法）。

需要说明的是，有些十进制小数无法准确的用二进制进行表达，所以转换时符合一定的精度即可，这也是为什么计算机的浮点数运算不准确的原因。

2.十进制（Decimal）——>

将十进制数（93）10转换成八进制数。

93/8=11………….5

11/8=1……………3

（93）10=（135）8

例子2:

将十进制数（0.3125）10转换成八进制数。

0.3125x8=2.5

0.5x8=4.0

（0.3125）10=（0.24）8

方法同十进制转化成二进制。

以小数点为界，整数部分除以8，然后取每次得到的商和余数，用商继续和8相除，直到商小于8。

然后把第一次得到的余数作为八进制的个位，第二次得到的余数作为八进制的十位，依次类推，最后一次得到的小于8的商作为八进制的最高位，这样由商+余数组成的数字就是转换后八进制的值（整数部分用除8取余法）；

小数部分则先乘8，然后获得运算结果的整数部分，将结果中的小数部分再次乘8，直到小数部分为零。

然后把第一次得到的整数部分作为八进制小数的最高位，后续的整数部分依次作为低位，这样由各整数部分组成的数字就是转化后八进制小数的值（小数部分用乘8取整法）。

3.十进制（Decimal）——>

将十进制数（93）10转换成十六进制数。

93/16=5……..13（D）

（93）10=（5D）16

将十进制数（0.3125）10转换成十六进制数。

0.3125x16=5.0

（0.3125）10=（0.5）16

以小数点为界，整数部分除以16，然后取每次得到的商和余数，用商继续和16相除，直到商小于16。

然后把第一次得到的余数作为十六进制的个位，第二次得到的余数作为十六进制的十位，依次类推，最后一次得到的小于16的商作为十六进制的最高位，这样由商+余数组成的数字就是转换后十六进制的值（整数部分用除16取余法）；

小数部分则先乘16，然后获得运算结果的整数部分，将结果中的小数部分再次乘16，直到小数部分为零。

然后把第一次得到的整数部分作为十六进制小数的最高位，后续的整数部分依次作为低位，这样由各整数部分组成的数字就是转化后十六进制小数的值（小数部分用乘16取整法）。

（93）10=（1011101）2=（135）8=（5D）16

（0.3125）10=（0.0101）2=（0.24）8=（0.5）16 

六、十六进制转换成其他进制

1.十六进制（Hex）——>

将十六进制数（A7）16转换成二进制数。

（A7）16=（A7）16=（10100111）2=（10100111）2

将十六进制数（0.D4）16转换成二进制数。

（0.D4）16=（0.D4）16=（0.11010100）2=（0.110101）2

十六进制转换成二进制与二进制转换成十六进制相反。

2.十六进制（Hex）——>

将十六进制数（A7）16转换成八进制数。

（A7）16=（10100111）2=（010100111）8=（247）8

将十六进制数（0.D4）16转换成八进制数。

（0.D4）16=（0.110101）2=（0.110101）8=（0.65）8

十六进制直接转换成八进制比较费力，因此，最好先将十六进制转换成二进制，然后再转换成八进制。

3.十六进制（Hex）——>

将十六进制数（A7）16转换成十进制数。

（A7）16=（10x161+7x160）10=（160+7）10=（167）10

将十六进制数（0.D4）16转换成十进制数。

（0.D4）16=（0+13x16-1+4x16-2）10=（0+0.8125+0.015625）10=（0.828125）10

以小数点为界，整数位从最后一位（从右向左）开始算，依次列为第0、1、2、3………n，然后将第n位的数（0-9，A-F）乘以16的n-1次方，然后相加即可得到整数位的十进制数；

小数位则从左向右开始算，依次列为第1、2、3……..n，然后将第n位的数（0-9，A-F）乘以16的-n次方，然后相加即可得到小数位的十进制数（按权相加法）。

（A7）16=（10100111）2=（247）8=（167）10

（0.D4）16=（0.110101）2=（0.65）8=（0.828125）10

七、总结

1.其他进制转十进制：

将二进制数、八进制数、十六进制数的各位数字分别乘以各自基数的（N-1）次方，其相加之和便是相应的十进制数，这是按权相加法。

2.十进制转其他进制：

整数部分用除基取余法，小数部分用乘基取整法，然后将整数与小数部分拼接成一个数作为转换的最后结果。

3.二进制转八进制：

从小数点位置开始，整数部分向左，小数部分向右，每三位二进制为一组用一位八进制的数字来表示，不足三位的用0补足。

4.八进制转二进制：

与二进制转八进制相反。

5.二进制转十六进制：

从小数点位置开始，整数部分向左，小数部分向右，每四位二进制为一组用一位十六进制的数字来表示，不足四位的用0补足。

6.十六进制转二进制：

与二进制转十六进制相反。

7.八进制转十六进制：

通常将八进制转换成二进制，然后通过二进制再转换成十六进制。

8.十六进制转八进制：

通常将十六进制转换成二进制，然后通过二进制再转换成八进制。

一.机器数和真值

在学习原码,反码和补码之前,需要先了解机器数和真值的概念.

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 

叫做这个数的机器数。

机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1.

比如，十进制中的数+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。

如果是-3，就是10000011。

那么，这里的00000011和10000011就是机器数。

2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

例如上面的有符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。

所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：

00000001的真值=+0000001=+1，10000001的真值=–0000001=–1

二.原码,反码,补码的基础概念和计算方法.

在探求为何机器要使用补码之前,让我们先了解原码,反码和补码的概念.对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储.原码,反码,补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1.原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值.比如如果是8位二进制:

[+1]原=00000001

[-1]原=10000001

第一位是符号位.因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:

[11111111,01111111]

即

[-127,127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2.反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变，其余各个位取反.

[+1]=[00000001]原=[00000001]反

[-1]=[10000001]原=[11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值.通常要将其转换成原码再计算.

3.补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1.（即在反码的基础上+1）

[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]补

[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的.通常也需要转换成原码在计算其数值.

三.为何要使用原码,反码和补码

在开始深入学习前,我的学习建议是先"

死记硬背"

上面的原码,反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数.对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

所以不需要过多解释.但是对于负数:

可见原码,反码和补码是完全不同的.既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?

首先,因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减.（真值的概念在本文最开头）.但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单.计算机辨别"

符号位"

显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!

于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:

1-1=1+（-1）=0,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法.首先来看原码:

计算十进制的表达式:

1-1=0

1-1=1+（-1）=[00000001]原+[10000001]原=[10000010]原=-2

如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题,出现了反码:

1-1=1+（-1）=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]反+[11111110]反=[11111111]反=[10000000]原=-0

发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的.而唯一的问题其实就出现在"

0"

这个特殊的数值上.虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的.而且会有[00000000]原和[10000000]原两个编码表示0.

于是补码的出现,解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1=1+（-1）=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]补+[11111111]补=[00000000]补=[00000000]原

这样0用[00000000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[10000000]表示-128:

（-1）+（-127）=[10000001]原+[11111111]原=[11111111]补+[10000001]补=[10000000]补

-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[10000000]补就是-128.但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示.（对-128的补码表示[10000000]补算出来的原码是[00000000]原,这是不正确的）

使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数.这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127,+127],而使用补码表示的范围为[-128,127].

因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的32位int类型,可以表示范围是:

[-231,231-1]因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.