初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题14 平行线分线段成比例精品.docx
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初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题14平行线分线段成比例精品
专题14 平行线分线段成比例
阅读与思考
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一,是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论.
运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线,需作平行线,而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线,一般是由成比例的两条线段启发而得.此外,还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形:
例题与求解
【例1】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=,BC=,E,F分别是AD,BC的中点,且AF交BE于P,CE交DF于Q,则PQ的长为____.
(上海市竞赛试题)
解题思路:
建立含PQ的比例式,为此,应首先判断PQ与AD(或BC)的位置关系,关键是从复杂的图形中分解出基本图形,并能在多个成比例线段中建立联系.
【例2】如图,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,M是AC的中点,BM交AD,AE于G,H,则BG︰GH:
HM等于( )
A.3︰2︰1B.4︰2︰1C.5︰4︰3D.5︰3︰2
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路:
因题设条件没有平行线,故须过M作BC的平行线,构造基本图形.
【例3】如图,□ABCD中,P为对角线BD上一点,过点P作一直线分别交BA,BC的延长线于Q,R,交CD,AD于S,T.
求证:
PQ•PT=PR•PS.
(吉林省中考试题)
解题思路:
要证PQ•PT=PR•PS,需证=,由于PQ,PT,PR,PS在同一直线上,故不能直接应用定理,需观察分解图形.
【例4】梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.
(1)如图1,如果P,E,F分别是BC,AC,BD的中点,求证:
AB=PE+PF;
(2)如图2,如果P是BC上的任意一点(中点除外),PE∥AB,PF∥DC,那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
(上海市闵行区中考试题)
图1
解题思路:
(1)不难证明;对于
(2),先假设结论成立,从平行线出发证明AB=PE+PF,即要证明+=1,将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明.
【例5】如图,已知AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交AB,AD,CD,CE于点M,N,P,Q.
求证:
MN+PQ=2PN.
解题思路:
考虑延长BA,EC构造平行四边形,再利用平行线设法构造有关的比例式.
(浙江省竞赛试题)
【例6】已知:
△ABC是任意三角形.
(1)如图1,点M,P,N分别是边AB,BC,CA的中点,求证:
∠MPN=∠A;
(2)如图2,点M,N分别在边AB,AC上,且=,=,点P1,P2是
边BC的三等分点,你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确?
请说明你的理由;
(3)如图3,点M,N分别在边AB,AC上,且P1,P2,…,P2009是边BC的2010等分点,则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=____.
(济南市中考试题)
图3
解题思路:
本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质.
能力训练
A级
1.设K===,则K=____.
(镇江市中考试题)
2.如图,AD∥EF∥BC,AD=15,BC=21,2AE=EB,则EF=____.
第5题
3.如图,在△ABC中,AM与BN相交于D,BM=3MC,AD=DM,则BD︰DN=____.
(杭州市中考试题)
4.如图,ABCD是正方形,E,F是AB,BC的中点,连结EC交DB,交DF于G,H,则EG︰GH︰HC=____.
(重庆市中考试题)
5.如图,在正△ABC的边BC,CA上分别有点E,F,且满足BE=CF=,EC=FA=(>),当BF平分AE时,则的值为( )
A.B.C.D.
6.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上的一点,且AF︰FD=1︰5,连结CF并延长交AB于E,则AE︰EB等于( )
A.1︰10B.1︰9C.1︰8D.1︰7
第8题
7.如图,PQ∥AB,PQ=6,BP=4,AB=8,则PC等于( )
A.4B.8C.12D.16
8.如图,EF∥BC,FD∥AB,BD=BC,则BE︰EA等于( )
A.3︰5B.2︰5C.2︰3D.3︰2
9.
(1)阅读下列材料,补全证明过程.
已知,如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥BC于E,连结DE交OC于点F,作FG⊥BC于G.求证:
点G是线段BC的一个三等分点.
(2)请你依照上面的画法,在原图上画出BC的一个四等分点.(要求:
保留画图痕迹,不写画法及证明过程)
(山西中考试题)
第11题
10.如图,已知在□ABCD中,E为AB边的中点,AF=FD,FE与AC相交于G.
求证:
AG=AC.
11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:
OE=OF;
(2)求+的值;
(3)求证:
+=.
(宿迁市中考试题)
12.如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上的一点,CE的延长线与BC的延长线交于点F,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,MB与AD交于点N.
求证:
∠AFN=∠DME.
(全国初中数学联赛试题)
B级
1.如图,工地上竖立着两根电线杆AB,CD,它们相距15cm,分别自两杆上高出地面4m,6m的A,C处,向两侧地面上的E,D和B,F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为____m.
(全国初中数学联赛试题)
第1题
2.如图,□ABCD的对角线交于O点,过O任作一直线与CD,BC的延长线分别交于F,E点.设BC=,CD=,CF=,则CE=____.
(黑龙江省中考试题)
3.如图,D,F分别是△ABC边AB,AC上的点,且AD︰DB=CF︰FA=2︰3,连结DF交BC边的延长线于点E,那么EF︰FD=____.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
4.如图,设AF=10,FB=12,BD=14,DC=6,CE=9,EA=7,且KL∥DF,LM∥FE,MN∥ED,则EF︰FD=____.
(江苏省竞赛试题)
第6题
5.如图,AB∥EF∥CD,已知AB=20,CD=80,那么EF的值是( )
A.10B.12C.16D.18
(全国初中数学联赛试题)
6.如图,CE,CF分别平分∠ACB,∠ACD,AE∥CF,AF∥CE,直线EF分别交AB,AC于点M,N.若BC=,AC=,AB=,且>>,则EM的长为( )
A.B.C.D.
(山东省竞赛试题)
7.如图,在□ABCD的边AD延长线上取一点F,BF分别交AC与CD于E,G.若EF=32,GF=24,则BE等于( )
A.4B.8C.10D.12E.16
(美国初中数学联赛试题)
8.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD,E是对角线AC的中点,直线BE交AD于点F,则AF︰FD的值是( )
A.2B.C.D.1
(黄冈市竞赛试题)
第9题
9.如图,P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点,直线AP,BP分别交直线CD于E,F.
求证:
=.
(宁波市竞赛试题)
10.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于O,直线平行于BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别交于点M,N,R,S和P.
求证:
PM·PN=PR·PS.
(山东省竞赛试题)
第10题
11.如图,AB⊥BC,CD⊥BC,B,D是垂足,AD和BC交于E,EF⊥BD于F.我们可以证明:
=成立(不要求证出).以下请回答:
若将图中垂直改为AB∥CD∥EF,那么,
(1)=还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
(2)请找出S△ABD,S△BED和S△BDC的关系式,并给出证明.
(黄冈市竞赛试题)
12.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,过D点的直线PQ交边AC于点P,交边AB的延长线于点Q.
(1)如图1,当PQ⊥AC时,求证:
=;
(2)如图2,当PQ不与AD垂直时,
(1)的结论还成立吗?
证明你的结论;
(3)如图3,若∠BAC=60°,其它条件不变,且=,则=____(直接写出结果)
图3