全等图形 初二讲义整理文档格式.docx
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能分成4个全等三角形吗？
你发现了什么结论？
1.2全等三角形
．说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等；
2．知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角；
3．会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质．
4．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法；
5.能进行简单的说理和计算。
【学习重点】全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质.
【学习难点】确认全等三角形的对应元素
1、全等三角形的定义：
两个能的三角形叫全等的三角形
互相重合的顶点叫，叫对应边，叫对应角.
“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”
例如△ABC与△DEF全等,记作“”,读作“△ABC全等于△DEF”
注意:
在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．
2、全等三角形的性质：
.
用硬纸片剪一个三角形，在纸上画一个与三角形纸片全等的△ABC，并把三角形纸片与△ABC叠合在一起。
（1）把三角形纸片沿AB所在直线平移一定的距离，画出所得的△
（2）把三角形纸片沿AC所在直线翻折，画出所得到的
（3）把三角形纸片绕顶点A旋转1800画出所得到的
例1.如图11.2-2，ΔABC≌ΔCDA，
写出它们的对应角和对应边．
练习：
写出下列几种全等三角形的对应边和对应角。
【当堂反馈】
⒈已知如图1.2-1，△ABC≌△ADE，AB与AD是对应边，AC与AE是对应边，若∠B=31°
，∠C=95°
，∠EAB=20°
，则∠BAD等于（）
A．77°
B．74°
C．47°
D．44°
⒉已知：
如图1.2-2，△ABE≌△ACD，∠1=50°
，∠C=45°
，BC=20，DE=14，
AD=13，AC比AD长2，求△ABE的各角的大小与各边的长度．
图1.2-3
图1.2-2
图1.2-1
⒊如图1.2-3，A、B、C、D四点在同一直线上，.你能从△ABF≌△DCE图中
得到哪些结论?
1.3探索三角形全等的条件
（1）
1，掌握三角形全等的“边角边”的条件。
并能利用这个条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2，经历观察、实验、归纳、猜想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，并培养其探索创新的精神，营造和谐、平等的学习氛围。
【学习重点】掌握三角形全等的“边角边”条件。
【学习难点】正确运用“边角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
问1：
如何画一个与下图全等的三角形？
即至少需要多少组边或角相等？
（可讨论完成）
问2：
从三角形的6个元素中任意选出其中的3个元素，有几种不同的选法？
从角边分类：
两边一角两边和它的夹角
两边和其中一边的对角
两角一边
两角和夹边
两角和其中一角的对边
边边边
角角角
问3：
按其中任一种选法选出的3对元素对应相等，两个三角形一定全等吗？
1、每人用一张长方形剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？
2、完成课本第13页第2题后交流你发现了：
的两个三角形全等，简称边角边或SAS。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SAS）
例：
如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，请问：
△ABC和△ADC是否全等？
例题变式：
如果把△ABC与△ADC拉开如图形状，若要使得它们全等，还需要什么条件？
1、分别找出
（1）
（2）题中的全等三角形，并说明理由。
（1）AC=ED∠BAC=40°
∠FED=40°
AB=EF
（2）AD=CB∠DAC=∠BCA=90
°
2、
如右图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件_______=________，就可根据“SAS”说明△AOB≌△DOC；
3、如图，AB＝AC，AD=AE，试说明△ABE≌△ACD
ww
4、如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：
△AFD≌△CEB.
5、如图1，AC、BD相交于点O，OA=OD,用“SAS”证△ABO≌△DCO还需（）
A、AB=DC、B、∠A＝∠D
C、OB=OCD、∠AOB＝∠DOC
如图3
如图2
6、如图2，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需增加的条件是（）
A、∠ABE＝∠DBEB、∠A＝∠DC、∠E＝∠CD、∠2＝∠1
7.如图3，△ABC≌△ADE，若∠BAC=120°
，∠DAE=.
8、已知，如图，AD=CB,∠1＝∠2.△ADC与△CBA全等吗?
9、如图，AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2试说明△ABE≌△DBC。
10、如图AB、CD相交于点O，，OA=OB，OC=OD，AC和BD有什么数量关系和位置关系？
1.3探索三角形全等的条件
（2）
1.掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
【学习重难点】
探索三角形全等的“角边角”的条件或“角角边“角边角”的条件或“角角边”来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．
【探索新知】
一、做一做”
（1）画线段AB=2cm，
AP与BQ相交于点C；
（2）剪下所画的△ABC，与同学所画的三角形能重合吗？
由此可得结论。
∴△ABC≌△DEF（ASA）
例1.已知：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别
在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：
BE＝DF，DE＝CF．
【当堂反馈】
1.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.
2．△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F．当添加条件时，就可得到△ABC≌△FED，
依据是
（只需填写一个你认为正确的条件）
3．已知：
∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB；
4、已知：
如图，∠1=∠2,∠3=∠4。
OB=OC
变式练习：
已知：
如图，∠1=∠2,∠B=∠C你还能证明OB=OC吗？
由此你能得到
通常写成以下格式：
如图，△ABC≌△A'
B'
C'
，AD和A'
D'
分别是△ABC和△A'
中BC和B'
C'
边上的高．求证：
AD＝A'
1、如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”,应补充一个直接条件___________，根据“AAS”，那么补充的条件为____________，才能使△ABC≌△DEF．
2、已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD=EC，△ABD≌△EBC吗？
3、如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？
4、如图,点C、F在AD上,且AF＝DC,∠B＝∠E,∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗?
5、已知：
如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.
AB＝CD．
6、已知：
在四边形ABCD中，AB∥DC,AD∥BC.
AB=DC,AD=BC
1.3探索三角形全等的条件（3）
1.经历探索三角形全等条件的过程，体会操作、归纳获得数学结论的过程；
2.记住全等三角形的识别方法（，并会运用该方法判断三角形是否全等.
3.了解三角形的稳定性.
【学习重点】“边边边”条件的探索及应用
【学习重点】运用三角形全等的“边边边”的条件判断两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．
【操作探究】
活动一：
用直尺和圆规作三角形，每一位学生按下列步骤作图
1.画线段AB=4cm.
2.分别以点A点B为圆心,3cm,2cm的长为半径画弧,两弧相交于点C.
3.连接AC、BC
作图区域
通过以上操作你发现了
___________________两个三角形全等．简写为“边边边”或简记为（SSS.）
上面的结论也告诉我们，如果一个三角形的三边确定，那么这个三角形的形状和
大小就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。
活动二：
学生利用周末制作木制三角形和四边形，探究图形的稳定性
思考：
三角形为什么具备稳定性？
有什么办法让四边形也具备稳定性？
说一说你周围应用三角形稳定性的实际例子，以感受数学的价值，增强应用数学
的意识，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物。
1.
已知AB=AC，，再添加一个什么样的条件△ABD与△ACD全等并说明理由。
2已知：
如图,在△ABC中，AB＝AC，
求证：
∠B＝∠C.
1、已知图中的两个三角形全等，则
的度数是（）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
2、如图，在
与
中，已有条件
，
还需添加两个条件才能使
，不能添加的一组条件是（）
A．
B．
C．
D．
3.如图，给出下列四组条件：
①
；
②
③
④
．
其中，能使
的条件共有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4.如图，若
，且
，则
=．
5如图，在ΔABC与ΔAED中，AB=AE，AC=AD，请补充一个已知条件：
____________（写一个即可），
使ΔABC≌ΔAED.试说明理由.
如图，AB＝CD，AD＝CB，
∠B＝∠D.
7、你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？
你能说明其中的道理吗？
8.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，试用“边边边”的方法说明：
∠B＝∠Cw
9.如图方格纸中
的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，
这样的三角形角格点三角形。
请你在图中画一个格点△ABC，且使
△ABC≌
，这样的格点三角形你能画几个？
1.3探索三角形全等的条件（4）
【学习目标】
1、角平分线的尺规作图
2、“sss公理”的灵活应用
【学习重点】角平分线作图原理及“sss公理”的灵活应用
【学习难点】“sss公理”的灵活应用
【探索新知】
活动1.不利用任何工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法？
活动2.如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
数学来源于生活，古代的能工巧匠就找到了解决的办法
1.如下图，是一个角平分仪，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB、AC沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是角平分线，你能说出其中的道理吗？
2.工人师傅常常用角尺平分一个任意角，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺，使角的两边相同刻度分别与点A、B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠COD的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
例1：
那么根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？
画法
图形
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E
2.分别以D、E为圆心，大于
DE的长度画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.
3.画射线OC，OC就是∠AOB的角平分线
用直尺和圆规画角的平分线的道理和依据是什么？
在下图中用直尺和圆规画平角∠AOB的角平分线
例2：
例1、如图，点A、C、D、F在同一条直线上，AB=FE，BC=ED，AD=FC。
∠B与∠E相等吗？
例2、如图已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E；
BE，CD交于点O，
且AO平分∠BAC．说明：
OB=OC．
1.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：
D到AB、AC的距离相等.
2.在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD．试说明：
CE=BD．
3．
已知:
BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，
说明：
点F在∠A的平分线上.
1.3探索三角形全等的条件（5）
【课标要求】
⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；
⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
【学习重难点】理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等
活动1：
试用尺规作出满足下列条件的三角形．
∠B=30°
，AB=5cm，AC=3cm；
（追问：
所作的三角形全等吗？
）
活动2：
做一做；
按下列画法，用圆规和刻度尺画直角三角形
1．画角∠PCQ=90°
.
2．在射线CP上取CB=2cm.
3．以B为圆心，3cm为半径画弧交射线CQ与点A.
4．连接AB.
你画的这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，从中你发现了什么？
斜边、直角边的判定方法
的两个直角三角形全等，
简称斜边、直角边或HL.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌R△DEF（HL）
①两直角三角形两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，根据.
②两直角三角形斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，根据.
③两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等，根据.
④两直角三角形全等的特殊条件是______和_______对应相等.
活动3：
谈谈“两条边对应相等的两个直角三角形全等”这句话的理解.
1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,垂足为D，试用（H.L）全等
的方法说明AD平分∠BAC
2.已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，
OC=ODOB=OC
1.下列三角形不一定全等的是（）
A.有两个角和一条边对应相等的三角形B.有两条边和一个角对应相等的三角形
C.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形D.三条边对应相等的两个三角形
2.如图，AB⊥BD，CD∥AB，AB=CD，点E、F在BD上，且AE=CF.试说明AE∥CF.
3．已知，如图：
D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF.
⑴△AED与△AFD全等吗？
⑵AD平分∠BAC吗？
4.已知：
如图，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°
，AE=CF．
（1）△ABF与△CDE全等吗？
（2）你发现AB与CD除相等外还有什么关系？
如有就说明理由．
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