三年级下补充讲义文档格式.docx

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三（4）班共有学生多少人？

例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？

把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷

2=68厘米。

试试身手3

把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？

拓展练习3

两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

另一根木棍长多少厘米？

例题4一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。

问两道聪明题都做对的有几人？

图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。

试试身手4

三

（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。

已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

两项比赛都参加的有几人？

拓展练习4

三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

两种棋都会下的有多少名？

C级勇夺冠军（选学）

例题5三

（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。

三

（1）班有学生多少人？

两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。

所以全班人数应是62－10=52人。

试试身手5

三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。

拓展练习5

三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。

三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？

三、课堂小测试

1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？

2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；

从前数第3个，从后数第5个。

鲜花队共多少人？

4、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？

四、学习内容与方法归纳

本次课程主要学习一些重叠知识解决生活中常见问题。

方法：

从条件入手进行认真的分析，画出图示，借助图形进行思考，运用包含与排除原理，找出哪些是重复的，重复了几次，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

五、课外轻松练习

把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？

竞赛真题：

某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：

语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。

根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？

数学趣题

小牛对人说：

“昨天，我跟两位象棋高手下棋。

我面前摆着两副棋盘，我一个人走两盘棋，同时跟这两位高手比赛。

你们猜，谁胜谁负？

”“准是你两盘都输了。

”人们知道小牛刚学下象棋，连马步怎么走都记不住。

“不对。

头一回，两盘都是和棋。

第二回，我输一盘，赢一盘。

无论再下多少回，我也不会同时输两盘棋。

”“你吹牛。

”

两位象棋高手出来证明：

小牛没有吹牛，我们也没有让棋。

是他采取巧妙的办法来和我们下棋的。

小牛用的是什么巧妙办法。

第二讲等差数列的认识

一、学习要点：

1、学会找规律，运用规律解决问题。

2、培养探索发现能力。

引入与铺垫—点睛

请观察下面几组数：

（1）1、2、3、4、5、6、7、8、……

（2）1、3、5、7、9、11、13、……

（3）1、4、7、10、13、16、……

（4）11、21、31、41、51、……

这些数列如果我们用求差法来找规律，就会发现在每一组数列中相邻两个数的差都是相等的。

我们把这种相邻两个数差都相等的数列，简称为“等差数列”。

下面我们就从“高斯求和”学起吧！

大数学家高斯上小学时，老师给大家出了这样一道题：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋98＋99＋100=？

正当大家忙着把这100个数一个一个加起来时，高斯却很快报出了正确答案5050。

高斯有什么决窍呢？

原来他拿到这道题之后，没有马上就动笔计算，而是先通过仔细观察，发现这100个加数中，（1，100）、（2，99）、（3，98）、……、（49，52）、（50，51），每两个数的和都是101，一共有50个101，所以得5050。

即：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋98＋99＋100

=（1＋100）×

（100÷

2）

=101×

50

=5050

在这一道题中的加数形成了一个等差数列，1是这个数列的第一项，我们通常称为首项；

100是这个数列中的最后一项，我们通常称它为尾项（末项）；

从首项到尾项一共有100个数相加，我们称这个数列的项数是100。

如果从11＋12＋13＋……＋19，一共有9个加数相加，则项数就是9。

这样我们就可以根据上面的计算得到等差数列求和的方法：

等差数列的和=（首项＋尾项）×

项数÷

2

我们都知首在等差数列中，每相邻两个数的差都相等，我们把一个等差数列中相等的这个差叫公差（CHA）。

在日常生活和小学生数学竞赛中，这样的求一串自然数的和的问题是经常碰到的。

例11＋2＋3＋4＋……＋49＋50=？

方法点拨：

这是一个自然数列，也是一个等差数列，它的首项是1，尾项是50，项数也是50，所以可以通过等差数列求和公式计算。

拓展空间1

21＋22＋23＋24＋…＋50=

1＋2＋3＋4＋…＋20=

例2你能迅速算出下列算式的结果吗？

11＋12＋13＋……49＋50=？

这还是一个等差数列，它的首项是11，尾项是50，项数是多少？

还是50吗？

仔细观察这一题和上一题，我们会发现例2比例1少了10个加数，例2一共只有40个加数，所以项数是40。

（1）32＋34＋36＋38＋40＋42=

（2）203＋207＋211＋215＋219=

拓展空间2

56＋57＋58＋…＋76=

例36＋10＋14＋18＋……＋394＋398=？

这是一个公差为4的等差数列，它的首项是6，尾项是398，那么它的项数是多少呢？

我们一时看不出来，但我们通过仔细观察发现：

第一项是6，第二项10比6多1个公差4；

第三项14比6多2个4；

第四项18比6多3个4；

……，那么，第N项就应该比6多（N－1）个4，398比6多几个4呢？

通过计算我们得出（398－6）÷

4=98（个），所以398是第99项，这题中一共有99个加数。

通过这一题我们可以得出求一个等差数列项数的方法：

项数=（尾项－首项）÷

公差＋1

3＋5＋7＋…+99+1012+4+8+10++14+16+20+22+……+92+94+98+100

拓展空间3

1000+999—998+997+996—995+……+106+105—104+103+102—101

例4计算下面一个数列的第100项是多少？

4、7、10、13、16、……

方法点拨这是一个公差是3的等差数列，求这个数列的第100项是多少，怎么办呢？

我们还是先来仔细观察一下这个数列每一项与第一项之间的关系吧。

通过观察我们可以发现：

第一项是4；

第二项7比4多1个3；

第三项10比4多2个3；

第四项13比4多3个3；

第五项16比4多4个3；

……，所以可以得知第100项比4多99个3；

第N项比4多（N－1）个3。

通过这道题我们可以学到求一个等差数列任意一项是多少的方法，假设这一项是N，则计算方法如下：

第N项值=（项数N－1）×

公差＋首项

计算下面数列中第50项是多少。

1、5、9、13、17、……、（）

拓展空间4

一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。

问：

最上面一层放了几本书？

C级勇夺冠军（选学）

例5有一个电影院，共有30排座位，其中每相邻的两排中，后一排总比前一排多两个座位，而这个电影院最后一排座位是78个，问第一排座位是多少个？

电影院的座位一共有30排，把这30排座位数写下来，排成一排，这些数就形成一个等差数列，这个等差数列的项数是30（因为有30个数），尾项是78，公差是2，要我们求首项。

我们想，从78中减去一个2就得倒数第二排的座位数，即第29排座位是76，再减一次2就得第28排座位数74，依次减下去，减多少次就可以得第一排座位数呢？

通过前两题的学习，我们可以知道，第30排比第一排多29个2，即多58个座位。

实际上根据例4得出的公式就可以推出求例5中首项的公式：

首项数=尾项－（项数－1）×

公差

试试身手5：

求下面数列共有100项，它的首项是多少？

（）、……、673、680、687、694

拓展空间5

重阳节那天，某茶庄请来25位老人品茶，这25位老人的年龄恰好是25个连续的自然数，并且年龄之和恰好是2000。

其中年龄最大的老人多少岁？

30＋31＋32＋……80=193+187+181+……+103

求下面数列共有80项，它的首项是多少？

（）、……、200、204、208、212、216、220

四、方法归纳

仔细观察，认真探究，发现规律，利用公式进行计算。

1、某车间从3月2日开始每天调入1人，已知每人每天生产1件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840件产品。

该车间原有工人多少人？

2、A、B两只渡船在一条河的两岸间往返行驶。

它们分别从河的两岸同时开始航行，在离河一岸700米处第一次相遇，然后继续前进，一直到达对岸。

两船返回航行时，在离另一岸400米处第二次相遇。

求河有多宽？

课外思维体操

如果5只猫在5分钟里能捉5只老鼠，在一百分钟里要捉100只老鼠，需要几只猫？

第三讲应用题（多少比较、倍数）

1、学习运用画示意图的方法解多少比较和简单的倍数应用题。

2、抽象与形象思维的相互转化训练。

例1学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？

根据题意画出线段图

从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只，用24×

2－5=43（只）可以求出足球的只数，再用43＋24=67只可以求出两种球的总只数。

简便方法：

24×

（2+1）-5

方法点睛：

画图分析，分层思考，注意联系。

小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下，小军每分钟比小红多跳几下？

光明小学四年级同学植树56棵，五年级植树的棵数比四年级的5倍少20棵.两个年级共植树多少棵？

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例2人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。

月季花有多少盆？

从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。

如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。

因此用（180＋15）÷

3=65（盆）就可求出月季花的盆数。

注意：

“倍数”相对应的量中应加上“少”的量，减去多的量。

小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。

小明母亲每月工资多少元？

水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。

卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还剩多少千克水果？

例3小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍。

白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？

根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为25÷

1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×

2=50只。

根据多的量，求1倍数。

商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。

红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？

男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；

如果少去一名男生，女生人数是男生的2倍。

参加交流会的男女生各多少人？

例4有两袋小球，从第一袋中拿出9只放入第二袋后，第一袋还比第二袋多3只，问原来第一袋比第二袋多多少只？

根据题意如果第一袋中取出9只放入第二袋后，两袋一样多，则第一袋比第二袋多9×

2=18只。

从图上可知，取了9只后还多3只，说明原来第一袋比第二袋多18+3=21（只）

方法归纳：

从一个量中拿出一部分到第二个量中后，两者一样多；

第一个量则比第二个量多拿出量的2倍。

明明给了晶晶6只水果后，还比晶晶多4只，问原来明明比晶晶多多少只？

平平和英英各买了若干本科技书，如果平平送给英英5本后，就比英英少2本。

平平比英英多买了多少本？

C级自主学习勇攀高峰

例5：

A盒中乒乓球的个数比B盒多9个，敏敏从A盒中拿出几个放入B盒，B盒中的乒乓球反而比A盒多3个。

问敏敏拿了几个乒乓球？

A盒中拿出几个乒乓放入B盒后，B盒反而比A盒多3个，也就是在A盒比B盒多的9个乒乓中，拿出几个后，剩下的比拿走的少3个。

如果A盒中再多3个，即比B盒多9+3=12个。

从A中拿出同样多的放入B盒，两盒就会相等。

可知，从A中拿出的只数是12个的一半，拿出的个数是12÷

2=6个。

五班同学做手工，女同学做了32个，给男同学8个后，女同学的比男同学少4个。

求原来男同学做了多少个？

1、王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。

王奶奶家共养鸡、鹅多少只？

2、饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。

饲养场养公鸭多少只？

3、有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4倍。

甲、乙、丙筐各有多少只苹果？

在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；

也可以从问题出发，找到必须的两个条件。

在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这两种方法。

有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。

五、课外延伸拓展

1、同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。

如果每本多装订9页，则少装订多少本？

2、A给B6只小鸟后，A的比B少2只。

求原来A的小鸟比B多多少只？

3、把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；

每人3块，将缺少2块，那么小朋友共有多少人？

考考你：

有一个人想要过河但水很急，这里有一把梯子和木头，但梯子还差10公尺，木头只有5公尺，请问他要怎样才能过河？

第四讲等量代换法

1、运用等量代换的方法解决问题。

2、训练思维的转化能力、观察、推理、分析能力。

[引入]曹冲称象故事分享：

（学生讲述）

教师总结：

因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。

A级开门见山方法点睛

例11个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃子的重量。

想一想，1个梨的重量等于几个桃子的重量？

根据“1个苹果重=3个桃子重”，可得出2个苹果重=6个桃子重；

又因为“1个梨重=2个苹果重”，所以1个梨重=6个桃子重。

点睛：

等量代换是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互相代换。

可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法。

B级触类旁通方法导航

例21个足球的重量等于2个排球的重量，1个排球的重量等于6只乒乓球的重量。

如果1只乒乓球重8克，那么1只足球重多少克？

根据“1只排球=6只乒乓球的重量”可知“2只排球=12只乒乓球的重量”，又因为“1只足球=2只排球的重量”，所以1只足球=12只乒乓球的重量。

所以1只足球重：

8×

（6×

2）=96克。

1个菠萝的重量等于2个梨的重量，1个梨的重量等于2个苹果的重量。

1个苹果重100克，1个菠萝重多少克？

1只排球重100克，1只乒乓球重多少克？

例3想一想，1只白皮球的重量等于几只黑皮球的重量？

根据“2只花皮球的重量=4只黑皮球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑皮球的重量；

再根据“1只白皮球的重量+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重量。

1个菠萝加1个梨的重量等于7个桃子的重量，2个梨的重量等于4个桃子的重量。

那么，1个菠萝的重量等于几个桃子的重量？

1只松鼠的重量＋1只兔子的重量=5只鸭的重量

2只松鼠的重量=6只鸭的重量

1只兔子的重量=几只鸭的重量

例4

由图我们可知每种水果在图中都出现了3次，那可求4种水果各3个的总重量：

630＋730＋330＋800=2490克；

再求4种水果各1个的重：

2490÷

3=830克。

然后根据图1可求出1个梨的重量：

830－630=200克；

根据图2求出1个苹果的重量：

830－730=100克；

根据图3求出1个菠萝的重量：

830－330=500克；

根据图4求出1个桃子的重量：

830－800=30克。

已知：

1只鸡的重量＋1只猴的重量=1500克

1只猴的重量＋1只鸭的重量=1800克

1只鸡的重量＋1只鸭的重量=1300克

求：

三种动物每只各重多少克？

红气球个数＋蓝气球个数＋绿气球个数=35个

蓝气球个数＋绿气球个数＋白气球个数=43个

绿气球个数＋白气球个数＋红气球个数=33个

红气球个数＋蓝气球个数＋白气球个数=48个

红、蓝、绿、白四种颜色的气球各多少个？

C级自主学习融汇贯通

例5用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？

用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，说明1个鹅蛋能换9÷

3=3个鸡蛋；

2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，说明1个鸡蛋能换4÷

2=2个鸽子蛋。

那么1个鹅蛋就能换2×

3=6个鸽子蛋，所以5个鹅蛋能换6×

5=30个鸽子蛋。

20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？

三、课堂测试方法积累

1、1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，2根香蕉的重量等于1个菠萝的重量。

1根重蕉的重量等于几个苹果的重量？

2、1只猴子的重量=2只兔子的重量

1只兔子的重量=3只小鸡的重量。

已知1只小鸡重量200克，1只猴子重多少克？

3、1只兔子的重量＋1只猴子的重量=8只鸡的重量

3只兔子的重量=9只鸡的重量

1只猴的重量=？

只鸡的重量

四、整理归纳方法盘点

关键是寻找解题的突破口，重点是利用等量代换、消去、对比等方法来解答，同时也可用和、差、倍问题线段图的思路解答。

五、课外提高练习方法创新

1、1只鹅的重量等于1只鸡加1只兔再加1只小鸟的重量，1只鹅的重量也等于3只兔或2只鸡的重量，问1只鹅等于（）只小鸟的重量。

2、2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换（）只兔子。

＊3、某人从A到B地，步行20分钟，再骑车15分钟可到达；

先骑车17分钟，再步行4分钟也可到达，从A到B全程步行要（）分钟到达。

盆里有6只馒头，6个小朋友每人分到1只，但盆里还留着1只，为什么？

第五讲对应法

1、学习用对应的方法思考问题，培养观察、理解、推理、转化能力；

2、运用符号、图形、比较、因果、对应、代入、假设等数学思想解决问题。

例1奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；

如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。

问1千克梨和1千克荔枝各多少元？

我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：

4千克梨＋5千克荔枝=58元

（1）

6千克梨＋5千克荔枝=62元

（2）

比较

（1）和

（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，

（2）式比

（1）式多了6－4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷

2=2元，那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×

4）÷

5=10元