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1、三（4）班共有学生多少人？例题3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是12016=136厘米，每块木板的长度是1362=68厘米。试试身手3把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？拓展练习3两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？ 例题

2、4 一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得2118=39人，这39人比全班总人数36多出了3936=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。试试身手4三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？拓展练习4三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会

3、的有10名。两种棋都会下的有多少名？ C级 勇夺冠军（选 学）例题5 三（1）班订数学报的有32人，订阅读报的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订数学报的32人内，又被包括在订阅读报的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从3230=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是6210=52人。试试身手5三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。拓展练习5三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少

4、带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？三、课堂小测试1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？4、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？四、学习内容与方法归纳本次课程主要学习一些重叠知识解决生活中常见问题。方法：从条件入手进行认真的分析，画出图示，借助图形进行思考，运用包含与排除原理，找出哪些是重复的，重复了几次，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。五

5、、课外轻松练习把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？竞赛真题：某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？数学趣题小牛对人说：“昨天，我跟两位象棋高手下棋。我面前摆着两副棋盘，我一个人走两盘棋，同时跟这两位高手比赛。你们猜，谁胜谁负？”“准是你两盘都输了。”人们知道小牛刚学下象

6、棋，连马步怎么走都记不住。“不对。头一回，两盘都是和棋。第二回，我输一盘，赢一盘。无论再下多少回，我也不会同时输两盘棋。”“你吹牛。” 两位象棋高手出来证明：小牛没有吹牛，我们也没有让棋。是他采取巧妙的办法来和我们下棋的。小牛用的是什么巧妙办法。第二讲 等差数列的认识一、学习要点：1、学会找规律，运用规律解决问题。2、培养探索发现能力。引入与铺垫点睛请观察下面几组数： （1）1、2、3、4、5、6、7、8、 （2）1、3、5、7、9、11、13、 （3）1、4、7、10、13、16、 （4）11、21、31、41、51、这些数列如果我们用求差法来找规律，就会发现在每一组数列中相邻两个数的差都是

7、相等的。我们把这种相邻两个数差都相等的数列，简称为“等差数列”。下面我们就从“高斯求和”学起吧！大数学家高斯上小学时，老师给大家出了这样一道题： 1234569899100=？正当大家忙着把这100个数一个一个加起来时，高斯却很快报出了正确答案5050。高斯有什么决窍呢？原来他拿到这道题之后，没有马上就动笔计算，而是先通过仔细观察，发现这100个加数中，（1，100）、（2，99）、（3，98）、（49，52）、（50，51），每两个数的和都是101，一共有50个101，所以得5050。 即：1234569899100 =（1100）（1002） = 10150 = 5050 在这一道题中的加

8、数形成了一个等差数列，1是这个数列的第一项，我们通常称为首项；100是这个数列中的最后一项，我们通常称它为尾项（末项）；从首项到尾项一共有100个数相加，我们称这个数列的项数是100。如果从11121319，一共有9个加数相加，则项数就是9。这样我们就可以根据上面的计算得到等差数列求和的方法： 等差数列的和=（首项尾项）项数2我们都知首在等差数列中，每相邻两个数的差都相等，我们把一个等差数列中相等的这个差叫公差（CHA）。在日常生活和小学生数学竞赛中，这样的求一串自然数的和的问题是经常碰到的。例1 12344950=？方法点拨 ：这是一个自然数列，也是一个等差数列，它的首项是1，尾项是50，项

9、数也是50，所以可以通过等差数列求和公式计算。拓展空间12122232450=123420=例2你能迅速算出下列算式的结果吗？ 1112134950=？ 这还是一个等差数列，它的首项是11，尾项是50，项数是多少？还是50吗？仔细观察这一题和上一题，我们会发现例2比例1少了10个加数，例2一共只有40个加数，所以项数是40。（1）323436384042= （2）203207211215219=拓展空间256575876=例3 6101418394398=？这是一个公差为4的等差数列，它的首项是6，尾项是398，那么它的项数是多少呢？我们一时看不出来，但我们通过仔细观察发现：第一项是6，第二项

10、10比6多1个公差4；第三项14比6多2个4；第四项18比6多3个4；，那么，第N项就应该比6多（N1）个4，398比6多几个4呢？通过计算我们得出（3986）4=98（个），所以398是第99项，这题中一共有99个加数。通过这一题我们可以得出求一个等差数列项数的方法：项数=（尾项首项）公差1357+99+101 2+4+8+10+14+16+20+22+92+94+98+100拓展空间31000+999998+997+996995+106+105104+103+102101例4 计算下面一个数列的第100项是多少？4、7、10、13、16、方法点拨 这是一个公差是3的等差数列，求这个数列的第

11、100项是多少，怎么办呢？我们还是先来仔细观察一下这个数列每一项与第一项之间的关系吧。通过观察我们可以发现：第一项是4；第二项7比4多1个3；第三项10比4多2个3；第四项13比4多3个3；第五项16比4多4个3；，所以可以得知第100项比4多99个3；第N项比4多（N1）个3。通过这道题我们可以学到求一个等差数列任意一项是多少的方法，假设这一项是N，则计算方法如下：第N项值=（项数N1）公差首项计算下面数列中第50项是多少。 1、5、9、13、17、（ ）拓展空间4一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问：最上面一层放了几本书？C级 勇夺冠军（选 学） 例5 有一个电影院，

12、共有30排座位，其中每相邻的两排中，后一排总比前一排多两个座位，而这个电影院最后一排座位是78个，问第一排座位是多少个？电影院的座位一共有30排，把这30排座位数写下来，排成一排，这些数就形成一个等差数列，这个等差数列的项数是30（因为有30个数），尾项是78，公差是2，要我们求首项。我们想，从78中减去一个2就得倒数第二排的座位数，即第29排座位是76，再减一次2就得第28排座位数74，依次减下去，减多少次就可以得第一排座位数呢？通过前两题的学习，我们可以知道，第30排比第一排多29个2，即多58个座位。实际上根据例4得出的公式就可以推出求例5中首项的公式：首项数=尾项（项数1）公差试试身手

13、5：求下面数列共有100项，它的首项是多少？ （ ）、673、680、687、694拓展空间5重阳节那天，某茶庄请来25位老人品茶，这25位老人的年龄恰好是25个连续的自然数，并且年龄之和恰好是2000。其中年龄最大的老人多少岁？30313280= 193+187+181+103求下面数列共有80项，它的首项是多少？（ ）、200、204、208、212、216、220四、方法归纳仔细观察，认真探究，发现规律，利用公式进行计算。1、某车间从3月2日开始每天调入1人，已知每人每天生产1件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840件产品。该车间原有工人多少人？2、A、B两只渡船在一条河的两岸间

14、往返行驶。它们分别从河的两岸同时开始航行，在离河一岸700米处第一次相遇，然后继续前进，一直到达对岸。两船返回航行时，在离另一岸400米处第二次相遇。求河有多宽？课外思维体操如果5只猫在5分钟里能捉5只老鼠，在一百分钟里要捉100只老鼠，需要几只猫？第三讲 应用题（多少比较、倍数）1、学习运用画示意图的方法解多少比较和简单的倍数应用题。2、抽象与形象思维的相互转化训练。例1学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？根据题意画出线段图从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只，用2425=43（只）可以求出足球的只数，再用4324=6

15、7只可以求出两种球的总只数。简便方法：24（2+1）-5方法点睛：画图分析，分层思考，注意联系。小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下，小军每分钟比小红多跳几下？光明小学四年级同学植树56棵，五年级植树的棵数比四年级的5倍少20棵.两个年级共植树多少棵？ _67kAj_ 例2人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（18015）3=65（盆）就可求出月季花的盆数。注意：“倍数”相对应的量中应加上“少”的量，

16、减去多的量。小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。小明母亲每月工资多少元？水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还剩多少千克水果？ 例3小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多1312=25只，这相当于黑鸡的21=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为251=25只，黄鸡的只数是2513=38只，白鸡的只数是252=50只。根据多的量，求1倍数。商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红

17、围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？例4 有两袋小球，从第一袋中拿出9只放入第二袋后，第一袋还比第二袋多3只，问原来第一袋比第二袋多多少只？ 根据题意如果第一袋中取出9只放入第二袋后，两袋一样多，则第一袋比第二袋多92=18只。从图上可知，取了9只后还多3只，说明原来第一袋比第二袋多18+3=21（只）方法归纳： 从一个量中拿出一部分到第二个量中后，两者一样多；第一个量则比第二个量多拿出量的2倍。

18、明明给了晶晶6只水果后，还比晶晶多4只，问原来明明比晶晶多多少只？平平和英英各买了若干本科技书，如果平平送给英英5本后，就比英英少2本。平平比英英多买了多少本？C级 自主学习 勇攀高峰 例5 ：A盒中乒乓球的个数比B盒多9个，敏敏从A盒中拿出几个放入B盒，B盒中的乒乓球反而比A盒多3个。问敏敏拿了几个乒乓球？A盒中拿出几个乒乓放入B盒后，B盒反而比A盒多3个，也就是在A盒比B盒多的9个乒乓中，拿出几个后，剩下的比拿走的少3个。如果A盒中再多3个，即比B盒多9+3=12个。从A中拿出同样多的放入B盒，两盒就会相等。可知，从A中拿出的只数是12个的一半，拿出的个数是122=6个。五班同学做手工，女

19、同学做了32个，给男同学8个后，女同学的比男同学少4个。求原来男同学做了多少个？1、王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？2、饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？3、有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。五、课外

20、延伸拓展1、同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本多装订9页，则少装订多少本？2、A给B 6只小鸟后，A的比B少2只。求原来A的小鸟比B多多少只？3、把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；每人3块，将缺少2块，那么小朋友共有多少人？考考你：有一个人想要过河但水很急，这里有一把梯子和木头，但梯子还差10公尺，木头只有5公尺，请问他要怎样才能过河？第四讲 等量代换法1、运用等量代换的方法解决问题。2、训练思维的转化能力、观察、推理、分析能力。引入曹冲称象故事分享：（学生讲述）教师总结：因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一

21、样，所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。A级 开门见山 方法点睛例11个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃子的重量。想一想，1个梨的重量等于几个桃子的重量？根据“1个苹果重=3个桃子重”，可得出2个苹果重=6个桃子重；又因为“1个梨重=2个苹果重”，所以1个梨重=6个桃子重。点睛：等量代换是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互相代换。可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法。B级 触类旁通 方法导航例2 1个足球的重量等于2个排球的重量，1个排球的重量等于6只乒乓球的重量。如果1只乒乓球重8克，那么1

22、只足球重多少克？根据“1只排球=6只乒乓球的重量”可知“2只排球=12只乒乓球的重量”，又因为“1只足球=2只排球的重量”，所以1只足球=12只乒乓球的重量。所以1只足球重：8（62）=96克。1个菠萝的重量等于2个梨的重量，1个梨的重量等于2个苹果的重量。1个苹果重100克，1个菠萝重多少克？1只排球重100克，1只乒乓球重多少克？ 例3想一想，1只白皮球的重量等于几只黑皮球的重量？根据“2只花皮球的重量=4只黑皮球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑皮球的重量；再根据“1只白皮球的重量+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重量。1个菠萝加1个梨的重量等于

23、7个桃子的重量，2个梨的重量等于4个桃子的重量。那么，1个菠萝的重量等于几个桃子的重量？1只松鼠的重量1只兔子的重量=5只鸭的重量2只松鼠的重量=6只鸭的重量1只兔子的重量=几只鸭的重量例4 由图我们可知每种水果在图中都出现了3次，那可求4种水果各3个的总重量：630730330800=2490克；再求4种水果各1个的重：24903=830克。然后根据图1可求出1个梨的重量：830630=200克；根据图2求出1个苹果的重量：830730=100克；根据图3求出1个菠萝的重量：830330=500克；根据图4求出1个桃子的重量：830800=30克。已知：1只鸡的重量1只猴的重量=1500克1

24、只猴的重量1只鸭的重量=1800克1只鸡的重量1只鸭的重量=1300克求：三种动物每只各重多少克？红气球个数蓝气球个数绿气球个数=35个蓝气球个数绿气球个数白气球个数=43个绿气球个数白气球个数红气球个数=33个红气球个数蓝气球个数白气球个数=48个红、蓝、绿、白四种颜色的气球各多少个？C级 自主学习 融汇贯通 例5 用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，说明1个鹅蛋能换93=3个鸡蛋；2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，说明1个鸡蛋能换42=2个鸽子蛋。那么1个鹅蛋就能换23=6个鸽子蛋，所以5个鹅蛋能换65=30个鸽子蛋。20只桃子可换2只

25、香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？三、课堂测试 方法积累1、1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，2根香蕉的重量等于1个菠萝的重量。1根重蕉的重量等于几个苹果的重量？2、1只猴子的重量=2只兔子的重量1只兔子的重量=3只小鸡的重量。已知1只小鸡重量200克，1只猴子重多少克？3、1只兔子的重量1只猴子的重量=8只鸡的重量3只兔子的重量=9只鸡的重量1只猴的重量=？只鸡的重量四、整理归纳 方法盘点关键是寻找解题的突破口，重点是利用等量代换、消去、对比等方法来解答，同时也可用和、差、倍问题线段图的思路解答。五、课外提高练习 方法创新1、1只鹅的重量等于1只鸡加1只兔再加1只小鸟的重量

26、，1只鹅的重量也等于3只兔或2只鸡的重量，问1只鹅等于（ ）只小鸟的重量。2、2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换（ ）只兔子。3、某人从A到B地，步行20分钟，再骑车15分钟可到达；先骑车17分钟，再步行4分钟也可到达，从A到B全程步行要（ ）分钟到达。 盆里有6只馒头，6个小朋友每人分到1只，但盆里还留着1只，为什么？第五讲 对应法1、学习用对应的方法思考问题，培养观察、理解、推理、转化能力；2、运用符号、图形、比较、因果、对应、代入、假设等数学思想解决问题。例1奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：4千克梨5千克荔枝=58元 （1）6千克梨5千克荔枝=62元 （2）比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了64=2千克梨，也就是多了6258=4元，说明1千克梨的价钱为42=2元，那么1千克荔枝的价钱就是（5824）5=10元