高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 1.docx

高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 1.docx

《高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 1.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解1

高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解

一、选择题

1．（文）（2010·北京东城区）在平面直角坐标系中，若点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（1，＋∞）

C．（－1，＋∞）D．（0,1）

[答案]　B

[解析]　∵点O（0,0）使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.

[点评]　可用B值判断法来求解，令d＝B（Ax0＋By0＋C），则d>0⇔点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．

由题意－2（－2－2t＋4）>0，∴t>1.

（理）（2010·惠州市模拟）若2m＋2n<4，则点（m，n）必在（　　）

A．直线x＋y－2＝0的左下方

B．直线x＋y－2＝0的右上方

C．直线x＋2y－2＝0的右上方

D．直线x＋2y－2＝0的左下方

[答案]　A

[解析]　∵2m＋2n≥2，由条件2m＋2n<4知，

2<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.

2．（文）（09·安徽）不等式组所表示的平面区域的面积等于（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D.

[答案]　C

[解析]　平面区域如图．解得A（1,1），易得B（0,4），C，

|BC|＝4－＝.

∴S△ABC＝××1＝.

（理）（2010·重庆市南开中学）不等式组所围成的平面区域的面积为（　　）

A．3B．6

C．6D．3

[答案]　D

[解析]　不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B（4,4），A（1,1），C（2,0）

∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC

＝×2×4－×2×1＝3.

3．（文）（2010·西安中学）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最小值为（　　）

A．2B．3

C．5D．7

[答案]　B

[解析]　在坐标系中画出约束条件所表示的可行域为图中△ABC，其中A（2,0），B（1,1），C（3,3），则目标函数z＝2x＋y在点B（1,1）处取得最小值，最小值为3.

（理）（2010·哈师大附中模考）已知A（2,4），B（－1,2），C（1,0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是（　　）

A．－1，－3B．1，－3

C．3，－1D．3,1

[答案]　B

[解析]　当直线y＝x－z经过点C（1,0）时，zmax＝1，当直线y＝x－z经过点B（－1,2）时，zmin＝－3.

4．（2010·四川广元市质检）在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（　　）

A．95B．91

C．88D．75

[答案]　B

[解析]　由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；

y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；

y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；

y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；

y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；

y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.

∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．

5．（2010·山师大附中模考）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是（　　）

A．12万元B．20万元

C．25万元D．27万元

[答案]　D

[解析]　设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，

由题意得，

获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，

由，解得A（3,4）．

∵－3<－<－，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.

6．（文）（2010·山东省实验中学）已知实数x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为（　　）

A．a≥1B．a≤－1

C．－1≤a≤1D．a≥1或a≤－1

[答案]　C

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.

（理）（2010·寿光现代中学）已知变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点（x，y）使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝（　　）

A．－2B．－1

C．1D．4

[答案]　C

[解析]　由题意可知，不等式组表示的可行域是由A（1,3），B（3,1），C（5,2）组成的三角形及其内部部分．当z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.

7．（2010·广东五校）当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC区域内（含边界）运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为（1,2），则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]∪[1，＋∞）

B．[－1,1]

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

D．（－1,1）

[答案]　B

[解析]　由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为（1,2），则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．

8．（文）（2010·厦门一中）已知x、y满足不等式组，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝（　　）

A．0B.

C.D．1

[答案]　B

[解析]　依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．

由得A（a，a），

由得B（1,1），

∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝.

（理）已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于（　　）

A．7B．5

C．4D．3

[答案]　B

[解析]　画出x，y满足条件的可行域如图所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．

由，

解得，

即点A的坐标为.

将点A的坐标代入x－y＝－1，得－＝－1，即m＝5.故选B.

二、填空题

9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．

[答案]　2

[解析]　可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点A（1,0）时，z取最大值，zmax＝2.

10．（2010·四川广元市质检）毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.

船型

每只船限载人数

租金（元/只）

大船

5

12

小船

3

8

[答案]　116

[解析]　设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，

∵－<－，∴当直线z＝12x＋8y经过点（9.6,0）时，z取最小值，但x，y∈N，

∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.

11．（文）（2010·淮南一中）已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．

[答案]　

[解析]　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分（包括边界）所示，由图形易知，点D（5,1）与点B（1,2）的距离最大，所以|MN|的最大值为.

（理）如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，点P（a，b）为平面区域内任意一点，则的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于x＋y＝0对称，∴y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1，而圆心在直线x＋y＝0上，∴－＋＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而表示点P（a，b）与点（1，－1）连线的斜率，

∴kmax＝＝－，kmin＝－1，

∴所求取值范围为.

12．若由不等式组（n>0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.

[答案]　－

[解析]　根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，

∴OA为外接圆的直径，

∴直线x＝my＋n与x－y＝0垂直，

∴×＝－1，即m＝－.

三、解答题

13．（2010·辽宁锦州）若x、y满足条件，求z＝x＋2y的最小值，并求出相应的x、y值．

[解析]　根据条件作出可行域如图所示，

解方程组，得A（－2,2）．

再作直线l：

x＋2y＝0，把直线l向上平移至过点A（－2，2）时，z取得最小值2，此时x＝－2，y＝2.

14．（2010·茂名模考）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.

（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；

（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在

（1）的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？

工人（名）

资金（万元）

甲

4

20

乙

8

5

[解析]　

（1）依题意得，

解得，

故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.

（2）依题意得x、y应满足的约束条件为

，且z＝0.65x＋0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图阴影部分），即可行域．

作直线b：

0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．

解方程组，得x＝2，y＝3.

故M的坐标为（2,3），所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5