直线平面垂直的判定及其性质练习Word格式文档下载.docx
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答案 C
3．（2013·
广东卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析 A选项中，m，n可能平行或异面．B中m，n可能异面．C中α，β不一定垂直，故选D.
答案 D
4．（理）5.（文）（2014·
长沙模拟）如下图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°
，∠BAD＝90°
.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°
，∴BD⊥CD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC.∴平面ABC⊥平面ADC.
4．（文）（2013·
广东汕头一模）如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析 ∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，又DA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P—ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，∠CD1D＝∠APB，∴∠CD1D<
90°
，故平面PAD与平面PBC不垂直．
答案 A
5．（理）（2013·
山东卷）已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A.B.
C.D.
解析 如图所示，由已知＝S△A1B1C1·
AA1＝×
×
sin60°
·
AA1，∴AA1＝，
A1P＝AP′＝A1D1
＝
＝＝1.
∵P，P′分别为正三角形A1B1C1与三角形ABC的中心，则PP′⊥平面ABC，∠P′AP即为PA与平面ABC所成的角，tan∠P′AP＝＝＝＝，∴∠P′AP＝.
6．（理）（2014·
菱湖中学月考）已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（ ）
解析 过点D作DG⊥AE于点G，由三垂线定理知，D1G⊥AE，∠DGD1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG＝，∴D1G＝＝，
∴sin∠DGD1＝＝.
6．（文）在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（ ）
A.aB.a
C.aD.a
解析 设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝＝a，A1D＝a，S△A1DM＝×
a×
＝a2，连接CM，S△CDM＝a2，由VC—A1DM＝VA1—CDM，得S△A1DM·
h＝S△CDM·
a，即a2·
h＝a2·
a.
所以h＝a，即点C到平面A1DM的距离为a，选A.
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．如图，∠BAC＝90°
，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；
与AP垂直的直线有________．
解析 ∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB.
答案 AB，BC，AC AB
8．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析 由PA⊥平面ABC，
得PA⊥AB，PA⊥AC.
故△PAB、△PAC都是直角三角形．
由BC⊥AC，得BC⊥PC，
故△BPC是直角三角形．
又△ABC显然是直角三角形，
故直角三角形的个数为4.
答案 4
9．（2014·
连云港模拟）已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则
①棱AB与PD所在的直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
解析 由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAB，平面PAD都与平面ABCD垂直，
故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，故②错；
∵S△PCD＝CD·
PD，S△PAB＝AB·
PA，
由AB＝CD，PD>
PA，可知③正确；
由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EF∥CD，
又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，故④错．
答案 ①③
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°
，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
证明
（1）∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又CD⊥AC，PA∩AC＝A，
故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC.
故CD⊥AE.
（2）∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°
，故PA＝AC.
∵E是PC的中点，故AE⊥PC.
由
（1）知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.
易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.
11．（2013·
北京卷）如下图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.
证明 （Ⅰ）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
（Ⅱ）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（Ⅲ）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.
所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
12．（理）（2014·
黑龙江一模）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB＝60°
，AB＝2，E为AD的中点．
（1）求证：
AD⊥PB；
（2）在棱AB上是否存在点F，使EF与平面PDC所成角的正弦值为？
若存在，确定线段AF的长度；
若不存在，请说明理由．
解
（1）证明：
连接PE，EB，因为平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥平面ABCD，PE⊥AD.
因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°
，E为AD的中点，所以BE⊥AD.
又PE∩BE＝E，所以AD⊥面PBE，所以AD⊥PB.
（2）假设这样的点F存在．以E为原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1,0,0），B（0，，0），C（－2，，0），D（－1,0,0），P（0,0，）．
因为点F在棱AB上，设F（x，（1－x），0），面PDC的法向量为u＝（a，b，c），则u·
＝a＋c＝0，u·
＝－a＋b＝0，令b＝1，则u＝（，1，－1），
故|cos〈u，〉|＝＝，解得x＝，所以存在点F满足条件，AF＝1.
12．（文）（2013·
浙江卷）如下图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°
.G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：
BD⊥平面APC；
（Ⅱ）若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
解 （Ⅰ）证明：
设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．
所以O为AC的中点，BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.
（Ⅱ）连接OG.由（Ⅰ）可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
由题意得OG＝PA＝.
在△ABC中，AC＝
＝2，
所以OC＝AC＝.
在直角△OCD中，OD＝＝2.
在直角△OGD中，tan∠OGD＝＝.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
（Ⅲ）连接OG.因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.
在直角△PAC中，得PC＝.
所以GC＝＝.从而PG＝，
所以＝.
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